Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D.:
a)
b)
c) V=P2(R), S3=t^3-4 t^2+2 t+3, t^3+2 t^2+4 t-1,2 t^3-t^2-3 t+5.
d) V=M2 times 3(R), S4=3 t+4, t^2+1.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada coleção de vetores é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.) em um dado espaço vetorial V. Vamos, para cada caso, escrever a combinação linear nula
c1v1 + c2v2 + c3v3 + cdots = 0
e resolver para os escalares ci. Se existir solução não-trivial (cineq0 para algum i), o conjunto é L.D.; caso contrário, é L.I.
Passo 2
Caso (a):
Montamos , isto é o sistema
Da primeira equação e todas as equações se reduzem a . Logo há solução livre , não-trivial.
Tratamos cada matriz como vetor em R^6 e montamos c1A+c2B+c3C=0. Isso dá um sistema linear de seis equações em c1,c2,c3. Resolvendo, encontra-se c2=c1 e c3=-c1, com c1 livre, gerando solução não-trivial.
Passo 5
Logo S2 também é linearmente dependente.
Passo 6
Caso (c): foi dado V=P2( R), o espaço dos polinômios de grau <=2, mas os vetores em
S3=t^3-4t^2+2t+3,;t^3+2t^2+4t-1,;2t^3-t^2-3t+5
são polinômios de grau 3, portanto não pertencem a P2( R). Como S3notsubset V, não faz sentido falar em L.I. ou L.D. nesse espaço.
Passo 7
Caso (d): foi dado V=M2times3( R), mas
S4=3t+4,;t^2+1
são polinômios, não matrizes 2times3. Logo S4notsubset V e também não se pode avaliar L.I./L.D. em M2times3( R).
Resposta
(a) L.D.
(b) L.D.
(c) Não é possível analisar pois S3notsubset P2( R).
(d) Não é possível analisar pois S4notsubset M2times3( R).