Verifique se sumn=1^infty (n+2)^2(n+3) ! converge ou não

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty (n+2)^2(n+3)!
O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão, que costuma ser eficiente para séries em que aparecem fatoriais no denominador. Vamos usar esse teste para decidir se a série converge.

Passo 2

Defina
an=(n+2)^2(n+3)!
Aplicamos o teste da razão, calculando
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty (n+3)^2(n+4)! (n+2)^2(n+3)! =limntoinfty(n+3)^2(n+2)^2cdot(n+3)!(n+4)! =limntoinfty(n+3)^2(n+2)^2(n+4)
Como, para n grande, o numerador cresce como n^2 e o denominador como n^3, temos
L=limntoinfty(n+3)^2(n+2)^2(n+4)=0

Passo 3

O teste da razão diz que, se L<1, a série converge absolutamente. Aqui obtivemos L=0<1, logo
sumn=1^infty(n+2)^2(n+3)!
converge.

Resposta

A série converge.

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