Verifique se sumn=0^infty cos ^n pi3 converge ou não.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=0^inftycos^n!l(tfracpi3r)
O conteúdo principal aqui é séries numéricas, mais especificamente séries geométricas. Vamos usar o critério de convergência de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de cosl(tfracpi3r). Sabemos que
cosl(tfracpi3r)=tfrac12

Passo 3

Logo, cada termo da série é
cos^n!l(tfracpi3r)=l(tfrac12r)^n,
e a série torna-se
sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n,
que é uma série geométrica de razão r=tfrac12.

Passo 4

O teste de convergência para série geométrica diz que
sumn=0^inftyr^n
converge se, e somente se, lvert rrvert<1, e nesse caso sua soma é
11-r
Aqui lverttfrac12rvert<1, logo a série converge.

Passo 5

Como lvert rrvert<1, a soma é
11-tfrac12=1tfrac12=2

Resposta

A série converge e seu valor é 2.

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