Verifique se 1+1 cdot 61 cdot 7+1 cdot 6 cdot 111 cdot 7 cdot 13+1 cdot 6 cdot 11 cdot 161 cdot 7 cdot 13 cdot 19+cdots+1 cdot 6 cdot 11 cdot 16 cdots(5 n-4)1 cdot 7 cdot 13 cdot 19 cdots(6 n-5) converge ou não.

Passo 1

O enunciado apresenta a série infinita
1 ;+; 1cdot61cdot7;+;1cdot6cdot111cdot7cdot13;+;1cdot6cdot11cdot161cdot7cdot13cdot19;+;cdots
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries infinitas de termos positivos e vamos usar o teste da razão para checar a convergência.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série. Chamando-o de a0=1 e, para k>=1,
ak ;=;prodj=1^k5j-46j-5

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
ak+1ak =prodj=1^k+15j-46j-5prodj=1^k5j-46j-5 =5(k+1)-46(k+1)-5 =5k+16k+1
Tomando o limite quando ktoinfty, temos
L=limktoinftyak+1ak =limktoinfty5k+16k+1 =56

Passo 4

Como L=tfrac56<1, pelo teste da razão a série de termos ak converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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