Verifique se sumn=1^infty 1raiz7 n-4 converge ou não.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty 1raiz7n-4
O conteúdo envolvido é o teste de comparação (em particular o teste de comparação por séries p-séries) e precisamos lembrar que a série
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Identificamos que, para n grande, raiz7n-4 se comporta como raiz7n=raiz7,raiz n. Assim é natural comparar
an = 1raiz7n-4 com bn = 1raiz n,
já que sum bn = sum 1/n^1/2 é uma p-série com p=tfrac12<=1, que diverge.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação por limite. Calculamos
limntoinftyanbn = limntoinfty1/raiz7n-41/raiz n = limntoinftyraizn7n-4 = 1raiz7,
que é um número finito e positivo. Como sum bn diverge, pelo critério de comparação limite a série sum an também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty1raiz7n-4 não converge (diverge).

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