Verifique se sumn=1^infty n^24 n^3+1 converge ou não.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty n^24n^3+1
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação em limite, comparando com a série harmônica sum 1/n.

Passo 2

Observamos que, para n grande,
4n^3+1 approx 4n^3,
então
n^24n^3+1 sim n^24n^3 = 14n
Isso sugere comparar com a série harmônica sumn=1^infty1n, que é conhecida por divergir.

Passo 3

Aplique o teste de comparação em limite. Defina an = n^24n^3+1 e bn = 1n. Calcule
L = limntoinftyanbn = limntoinftyn^24n^3+11n = limntoinftyn^34n^3+1 = 14
Como 0 < L < infty e a série sum bn = sum 1n diverge, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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