Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O objetivo é verificar se podemos usar o Teste da Integral para saber se a série
converge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como o Teste da Integral funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma série
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para
(para algum número
), então a série e a integral
concordam na convergência ou divergência.
Passo 3
Vamos verificar se nossa série atende esses critérios:
- Positiva:
é sempre positiva para . - Contínua: A função
é contínua para . - Decrescente: Ao aumentar
, o denominador aumenta, então a fração diminui, ou seja, a função é decrescente.
Como atende a todos os critérios, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Isso porque
, então:
Então a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral
.
Fazendo a substituição
, temos
. A integral se torna:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até
:
Calculando os limites:
- Para
, . - Para
, .
Assim:
Resposta
Como a integral
é finita, pelo Teste da Integral, a série
converge.