Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
sumn=1^infty 1(4+2 n)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O objetivo é verificar se podemos usar o Teste da Integral para saber se a série converge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como o Teste da Integral funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma série , onde é uma função positiva, contínua e decrescente para (para algum número ), então a série e a integral concordam na convergência ou divergência.

Passo 3

Vamos verificar se nossa série atende esses critérios:
  1. Positiva: é sempre positiva para .
  2. Contínua: A função é contínua para .
  3. Decrescente: Ao aumentar , o denominador aumenta, então a fração diminui, ou seja, a função é decrescente.
Como atende a todos os critérios, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral 1(4+2x)^3/2 = 12^3/2 cdot 1(2 + x)^3/2 .
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
(4 + 2x)^3/2 = [2(2 + x)]^3/2 = 2^3/2 cdot (2 + x)^3/2
Isso porque integral1^infty 12^3/2 cdot (2 + x)^3/2 , dx = 12^3/2 integral1^infty 1(2 + x)^3/2 , dx , então:
Então a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral integral 1u^3/2 , du = integral u^-3/2 , du = u^-1/2-1/2 + C = -2 u^-1/2 + C .
Fazendo a substituição -2 (2 + x)^-1/2 + C , temos . A integral se torna:
Voltando para :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até 12^3/2 [ -2 (2 + x)^-1/2 ]1^infty :
12^3/2 [ 0 - (-2 cdot 1raiz3) ] = 12^3/2 cdot 2raiz3 = 22^3/2 raiz3 = 22 raiz2 raiz3 = 1raiz6
Calculando os limites:
  • Para , .
  • Para , .
Assim:

Resposta

Como a integral é finita, pelo Teste da Integral, a série converge.

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