Verifique, pela definição, se a função
é uma antiderivada da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar, usando a definição, se a função $ g(x) = \frac{1}{2} x^{4} - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - x + 753 $ é uma antiderivada da função $ f(x) = (x-3)^{3} $. Para isso, vamos precisar entender o que é uma antiderivada e como calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma antiderivada. Uma função $ G(x) $ é antiderivada de $ f(x) $ se sua derivada $ G’(x) $ for igual a $ f(x) $. Ou seja, queremos verificar se a derivada de $ g(x) $ é exatamente $ f(x) = (x-3)^{3} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ g(x) $. Para isso, usamos as regras básicas de derivação, como a potência. A regra da potência diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Vamos derivar cada termo de $ g(x) $:
- A derivada de $ \frac{1}{2} x^{4} $ é $ \frac{1}{2} \cdot 4x^{3} = 2x^{3} $.
- A derivada de $ -x^{3} $ é $ -3x^{2} $.
- A derivada de $ \frac{3}{2} x^{2} $ é $ \frac{3}{2} \cdot 2x = 3x $.
- A derivada de $ -x $ é $ -1 $.
- A derivada de uma constante, como 753, é 0.
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a derivada de $ g(x) $, vamos comparar com $ f(x) = (x-3)^{3} $. Para facilitar a comparação, podemos expandir $ (x-3)^{3} $:
Então, $ f(x) = x^{3} - 9x^{2} + 27x - 27 $.
Comparando com $ g’(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 $, vemos que:
- Os coeficientes de $ x^{3} $ são diferentes: 2 vs 1
- Os coeficientes de $ x^{2} $ são diferentes: -3 vs -9
- Os coeficientes de $ x $ são diferentes: 3 vs 27
- Os termos constantes são diferentes: -1 vs -27
Resposta
Como as derivadas não são iguais ($ g’(x) \neq f(x) $), a função $ g(x) $ não é uma antiderivada da função $ f(x) = (x-3)^{3} $.