Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2-\operatorname{sen}^{2}(3 n)}{2^{n}+n^{2}+1}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2-\operatorname{sen}^{2}(3n)}{2^{n}+n^{2}+1}.
O conteúdo aqui é testes de comparação para séries de termos não negativos.

Passo 2

Note que para todo n vale
0\le \operatorname{sen}^{2}(3n)\le 1
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1\le 2-\operatorname{sen}^{2}(3n)\le 2.
Além disso
2^{n}+n^{2}+1\ge 2^{n}.
Portanto o termo geral
a_{n}=\frac{2-\operatorname{sen}^{2}(3n)}{2^{n}+n^{2}+1}
é não negativo e satisfaz
0\le a_{n}\le \frac{2}{2^{n}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{2^{n}}
é uma série geométrica de razão 1/2, portanto converge (o seu valor é 2, mas o que importa é que converge).

Passo 4

Pelo teste da comparação, como 0\le a_{n}\le 2/2^{n} e \sum 2/2^{n} converge, a série \sum a_{n} converge absolutamente. Logo a série original converge.

Resposta

A série converge.

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