Verifique, por derivação, que a fórmula está correta.
é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar, usando derivação, se a fórmula da integral de
está correta. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo integral e derivada de funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a derivada da função hiperbólica
e ver se ao derivar a expressão dada obtemos de volta
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função
. A função hiperbólica
tem uma propriedade importante:
Isso significa que, quando você deriva
em relação a
, você obtém
.
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão proposta na integral:
Queremos verificar se ao derivar o lado direito,
, realmente obtemos
.
Passo 4
Aplicando a regra da derivada, derivamos cada termo separadamente:
-
Derivada de
: -
Derivada de
(uma constante):
Passo 5
Juntando as derivadas:
Resposta
Como ao derivar
obtemos
, a fórmula está correta.