Verifique, por derivação, que a fórmula está correta:
\int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+2}} d x=2 \sqrt{x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por derivação, que
\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+2}}\,dx = 2\sqrt{x^2+2}.
Ou seja, precisamos mostrar que a derivada de 2\sqrt{x^2+2} é exatamente \frac{2x}{\sqrt{x^2+2}}. Vamos usar a regra da cadeia na derivada de uma função potência.

Passo 2

Escrevendo \sqrt{x^2+2} = (x^2+2)^{1/2}, calculamos
\frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{x^2+2}\bigr) = 2 \,\frac{d}{dx}\bigl((x^2+2)^{1/2}\bigr).

Passo 3

Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl((x^2+2)^{1/2}\bigr) = \frac{1}{2}(x^2+2)^{-1/2}\cdot 2x.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{x^2+2}\bigr) = 2 \cdot \frac{1}{2}(x^2+2)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2}}.

Passo 4

Como a derivada de 2\sqrt{x^2+2} coincide com o integrando \frac{2x}{\sqrt{x^2+2}}, a antiderivada está correta.

Resposta

A derivada de 2\sqrt{x^2+2} é \frac{2x}{\sqrt{x^2+2}}, igual ao integrando, logo a fórmula está verificada.

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