Verifique se det(A B)=det(A) det(B) para os seguintes pares de matrizes:
A=[ccc2 & 3 & 6 0 & 3 & 2 0 & 0 & -4] e B=[ccc3 & 0 & 0 4 & 5 & 0 2 & 1 & -2].

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade
det(AB) = det(A),det(B)
para
A = 2 & 3 & 6 [6pt] 0 & 3 & 2 [6pt] 0 & 0 & -4 e B = 3 & 0 & 0 [6pt] 4 & 5 & 0 [6pt] 2 & 1 & -2
Vamos calcular det(A), det(B) e det(AB) diretamente.]

Passo 2

Como A é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A) = 2 times 3 times (-4) = -24

Passo 3

Como B é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero),
det(B) = 3 times 5 times (-2) = -30

Passo 4

Primeiro calculamos o produto AB:
AB = 2 & 3 & 6 [3pt] 0 & 3 & 2 [3pt] 0 & 0 & -4 3 & 0 & 0 [3pt] 4 & 5 & 0 [3pt] 2 & 1 & -2 = 30 & 21 & -12 [3pt] 16 & 17 & -4 [3pt] -8 & -4 & 8
Agora det(AB) pelo método de Laplace (ou regra de Sarrus) dá
det(AB) =3017 & -4-4 & 8 -2116 & -4-8 & 8 -1216 & 17-8 & -4 =30cdot120 -21cdot96 -12cdot72 =3600 -2016 -864 =720 ]

Passo 5

Multiplicando os determinantes de A e B temos
det(A),det(B) = (-24)times(-30) = 720,
que coincide com det(AB)=720. Portanto a propriedade está verificada.

Resposta

det(AB)=det(A),det(B)=720.

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