Verifique que Imf subseteq Df e determine h(x)=g(f(x)).
g(x) =clx^2+2 x+4, & se x<1 3 x+4, & se x >= 1 e
f(x) =x-3

Passo 1

O enunciado pede para verificar que Imfsubseteq Df e em seguida determinar a composição
h(x)=gl(f(x)r)
onde
f(x)=x-3, g(x)= x^2+2x+4, & x<1, 3x+4, & x>=1
O conteúdo é composição de funções e manipulação de casos de uma função por partes.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é
Df=R,
e como f(x)=x-3 é uma reta com coeficiente angular não nulo, sua imagem é
Imf=R
Logo
Imf=R=Df,
isto é, Imfsubseteq Df.

Passo 3

Para escrever h(x)=g(f(x)) precisamos ver em quais x se aplica cada ramo de g. Chamando y=f(x)=x-3, temos:
y<1 iff x-3<1 iff x<4,
y>=1 iff x-3>=1 iff x>=4

Passo 4

Agora substituímos y=x-3 em cada ramo de g. Assim,
h(x)=gl(f(x)r)= (f(x))^2+2,f(x)+4, & se x<4, 3,f(x)+4, & se x>=4

Passo 5

Basta agora expandir f(x)=x-3 em cada expressão:
Para x<4:
(f(x))^2+2,f(x)+4=(x-3)^2+2(x-3)+4 =x^2-6x+9+2x-6+4 =x^2-4x+7
Para x>=4:
3,f(x)+4=3(x-3)+4=3x-9+4=3x-5

Resposta

h(x)=g(f(x))= x^2-4x+7, & x<4, 3x-5, & x>=4

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