Verifique se as EDO’s abaixo são ou não homogêneas; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
(x^2+2 y^2) d x=x y d y

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
l(x^2+2y^2r),dx = x,y,dy
e nos pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. Usaremos o conceito de funções homogêneas e a substituição y = u,x.

Passo 2

Uma equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
é homogênea se M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Aqui
M(x,y) = x^2 + 2y^2, N(x,y) = -,x,y,
ambas são homogêneas de grau 2. Portanto, a EDO é homogênea.

Passo 3

Aplicamos a substituição
y = u,x, dy = u,dx + x,du
Reescrevendo a EDO como
(x^2+2y^2),dx - x,y,dy = 0
e substituindo, vem
l(x^2+2u^2x^2r),dx - x,(u x),l(u,dx + x,dur)=0
que simplifica para
(1+2u^2),dx - l(u^2,dx + u,x,dur)=0

Passo 4

Agrupando termos de dx e du:
(1+2u^2-u^2),dx = u,x,du Longrightarrow (1+u^2),dx = u,x,du
Divide-se por x(1+u^2) e isola-se cada variável:
dxx = u1+u^2,du

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dxx = integral u1+u^2,du Longrightarrow lnlvert xrvert = tfrac12,lnl(1+u^2r) + C

Passo 6

Voltando a u = y/x e rearranjando, temos
lnlvert xrvert - tfrac12,ln!l(1+y^2x^2r)=C ;Longrightarrow; x^21+y^2x^2=K
para alguma constante K. Multiplicando por x^2 e reorganizando, obtém-se a forma implícita da solução:
x^2 + y^2 = C,x^4,
onde C é constante arbitrária. Essa solução é implícita.

Resposta

A EDO é homogênea. A solução geral implícita é
x^2 + y^2 = C,x^4,
com C constante.

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