Verifique se as EDO’s abaixo são ou não homogêneas; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO
e nos pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. Usaremos o conceito de funções homogêneas e a substituição
.
Passo 2
Uma equação diferencial na forma
é homogênea se
e
são funções homogêneas do mesmo grau. Aqui
ambas são homogêneas de grau
. Portanto, a EDO é homogênea.
Passo 3
Aplicamos a substituição
Reescrevendo a EDO como
e substituindo, vem
que simplifica para
Passo 4
Agrupando termos de
e
:
Divide-se por
e isola-se cada variável:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Passo 6
Voltando a
e rearranjando, temos
para alguma constante
. Multiplicando por
e reorganizando, obtém-se a forma implícita da solução:
onde
é constante arbitrária. Essa solução é implícita.
Resposta
A EDO é homogênea. A solução geral implícita é
com
constante.