Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(2 y^{2} \cdot t-3\right) d t+\left(2 y \cdot t^{2}+4\right) \cdot d y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a equação dada é exata e, se for, resolver. Estamos lidando com uma equação diferencial, então vamos precisar entender o que significa ser uma equação exata e como resolver se for o caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma M(t, y) , dt + N(t, y) , dy = 0 é dita exata se as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a t forem iguais. Ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial t

Passo 3

Vamos identificar M e N na nossa equação:
M(t, y) = 2y^2t - 3
N(t, y) = 2yt^2 + 4

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2y^2t - 3) = 4yt
partial Npartial t = partialpartial t(2yt^2 + 4) = 4yt

Passo 5

Como partial Mpartial y = partial Npartial t = 4yt, a equação é exata! Isso significa que existe uma função phi(t, y) tal que:
dphi = M , dt + N , dy

Passo 6

Para encontrar phi(t, y) , vamos integrar M em relação a t :
phi(t, y) = integral M , dt = integral (2y^2t - 3) , dt = y^2t^2 - 3t + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 7

Agora, vamos derivar phi(t, y) em relação a y e igualar a N :
partial phipartial y = 2yt^2 + h'(y) = N = 2yt^2 + 4
Isso nos dá:
2yt^2 + h'(y) = 2yt^2 + 4

Passo 8

Simplificando, vemos que h'(y) = 4 . Integrando isso em relação a y , obtemos:
h(y) = 4y + C
onde C é a constante de integração.

Passo 9

Finalmente, substituímos h(y) de volta na expressão de phi(t, y) :
phi(t, y) = y^2t^2 - 3t + 4y + C

Resposta

A solução geral da equação é:
y^2t^2 - 3t + 4y = C
Onde C é uma constante.

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