Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(2 y^{2} \cdot t-3\right) d t+\left(2 y \cdot t^{2}+4\right) \cdot d y=0
\left(2 y^{2} \cdot t-3\right) d t+\left(2 y \cdot t^{2}+4\right) \cdot d y=0
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a equação dada é exata e, se for, resolver. Estamos lidando com uma equação diferencial, então vamos precisar entender o que significa ser uma equação exata e como resolver se for o caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma
é dita exata se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
forem iguais. Ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Como
, a equação é exata! Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 6
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso nos dá:
Passo 8
Simplificando, vemos que
. Integrando isso em relação a
, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Finalmente, substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante.