Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(y \cdot \ln y-e^{-t \cdot y}\right)+\left(\frac{1}{y}+t \cdot \ln y\right) \cdot \frac{d y}{d t}=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
l(yln y - e^-t yr) ;+;l(tfrac1y+tln yr),dydt=0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar teoria de equações diferenciais exatas e, se necessário, fator integrante.

Passo 2

Escrevendo em forma diferencial, temos
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0,
onde
M(t,y)=yln y - e^-t y, N(t,y)=tfrac1y+tln y

Passo 3

Calculamos
partial Mpartial y =ddyl(yln yr) -ddyl(e^-t yr) =(ln y+1)+t,e^-t y,
partial Npartial t =ddtl(tfrac1yr) +ddtl(tln yr) =0+ln y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial t, não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante mu que torne a equação exata. Observando a dependência mista em t e y, tentamos
mu(t,y)=e^t y

Passo 5

Multiplicando toda a equação por e^ty, obtemos
M^*=e^t y(yln y - e^-t y)=yln y,e^t y-1,
N^*=e^t yl(tfrac1y + tln yr) =e^t yy+tln y,e^t y
Agora
partial M^*partial y =e^ty(ln y+1)+yln y,t,e^ty,
partial N^*partial t =e^ty+ ln y,e^ty+t,yln y,e^ty =e^ty(ln y+1)+yln y,t,e^ty,
logo partial M^*/partial y=partial N^*/partial t e a equação com M^*,N^* é exata.

Passo 6

Procuramos uma função potencial Psi(t,y) tal que
Psit=M^*=yln y,e^t y-1
Integramos em relação a t:
Psi(t,y) =integrall(yln y,e^t y-1r),dt =yln yintegral e^t ydt - t + h(y) =ln y,e^t y-t + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 7

Impondo Psiy=N^*, temos
Psiy =e^tyy+tln y,e^ty+h'(y) stackrel!= e^tyy+tln y,e^ty,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante. Assim
Psi(t,y)=e^t yln y - t + C

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
e^t y,ln y ;-; t = C,
onde C é constante arbitrária.

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