Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(y \cdot \ln y-e^{-t \cdot y}\right)+\left(\frac{1}{y}+t \cdot \ln y\right) \cdot \frac{d y}{d t}=0
\left(y \cdot \ln y-e^{-t \cdot y}\right)+\left(\frac{1}{y}+t \cdot \ln y\right) \cdot \frac{d y}{d t}=0
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar teoria de equações diferenciais exatas e, se necessário, fator integrante.
Passo 2
Escrevendo em forma diferencial, temos
onde
Passo 3
Calculamos
Como
, não é exata.
Passo 4
Procuramos um fator integrante
que torne a equação exata. Observando a dependência mista em
e
, tentamos
Passo 5
Multiplicando toda a equação por
, obtemos
Agora
logo
e a equação com
é exata.
Passo 6
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 7
Impondo
, temos
logo
e
é constante. Assim
Resposta
A solução geral, de forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.