Verifique se a equação dada é linear. Se for, resolva:
(1-cos x) d y+(2 y sen x-tan x) d x=0

Passo 1

Temos a equação
(1-cos x),dy+(2ysin x-tan x),dx=0
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos reescrever na forma dy/dx+P(x)y=Q(x), calcular o fator integrante e resolver.

Passo 2

Dividindo toda a equação por dx e depois por (1-cos x), obtemos
dydx=-2ysin x-tan x1-cos x
Reescrevendo,
dydx+P(x)y=Q(x)
com
P(x)=-2sin x1-cos x, Q(x)=tan x1-cos x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(-2integralsin x1-cos x,dxr)
Fazendo u=1-cos x, du=sin x,dx, dá
integralsin x1-cos x,dx=integralduu=ln|1-cos x|
e portanto
$$
\mu(x)=e^{-2\ln|1-\cos x|}=(1-\cos x)^2.
$$

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=(1-cos x)^2. Então ela fica
(2ysin x-tan x)(1-cos x),dx+(1-cos x)^2,dy=0
que é exata, pois
partialpartial yl[(2ysin x-tan x)(1-cos x)r]=2sin x(1-cos x)
partialpartial xl[(1-cos x)^2r]=2(1-cos x)sin x=2sin x(1-cos x)

Passo 5

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
partialphipartial x=(2ysin x-tan x)(1-cos x), partialphipartial y=(1-cos x)^2

Passo 6

Integramos partialphi/partial x em relação a x:
phi(x,y)=integrall[2ysin x(1-cos x)-tan x(1-cos x)r]dx+h(y)
Fazendo as integrações, obtém-se
phi(x,y)=y(1-cos x)^2+ln|cos x|-cos x+h(y)

Passo 7

Agora impomos partialphi/partial y=(1-cos x)^2:
partialphipartial y=(1-cos x)^2+h'(y)=(1-cos x)^2
Logo h'(y)=0 e h(y)=C. A solução geral fica
y(1-cos x)^2+ln|cos x|-cos x=C

Resposta

y(1-\cos x)^2+\ln|\cos x|-\cos x=C

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