Verifique se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva.
(2 x y^2-3) d x+(2 x^2 y+4) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(2x y^2-3r),dx + l(2x^2y+4r),dy = 0
que está na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
O conteúdo é ``equações diferenciais exatas'': devemos verificar se partial M/partial y = partial N/partial x e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M, partial phipartial y=N

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x y^2-3, N(x,y) = 2x^2y+4
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(2x y^2-3r) = 4x y,
partial Npartial x = partialpartial xl(2x^2y+4r) = 4x y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar phi(x,y), integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integrall(2x y^2-3r),dx = x^2y^2 - 3x + h(y),
once h(y) é uma ``constante'' de integração que pode depender de y.

Passo 4

Diferenciamos phi(x,y) em relação a y e igualamos a N:
partial phipartial y = 2x^2y + h'(y) stackrel!= 2x^2y + 4
Isso dá
h'(y)=4 Longrightarrow h(y)=4y + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em phi, obtemos a função potencial completa:
phi(x,y) = x^2y^2 - 3x + 4y
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
phi(x,y) = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^2y^2 ;-; 3x ;+; 4y ;=; C

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