Verifique se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva.
(x^2 y^3-11+9 x^2) d xd y+x^3 y^2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^2y^3-tfrac11+9x^2r)dxdy+x^3y^2=0
O conteúdo aqui é EDO exata. Vamos reescrever no formato
,M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, verificar se partial M/partial y=partial N/partial x e, se exata, encontrar a função potencial psi(x,y) tal que psi(x,y)=C.

Passo 2

Multiplicando por dy, temos
l(x^2y^3-tfrac11+9x^2r),dx + x^3y^2,dy=0,
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M(x,y)=x^2y^3-tfrac11+9x^2, N(x,y)=x^3y^2
Calculamos
partial Mpartial y =3x^2y^2, partial Npartial x =3x^2y^2,
como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Exatidão implica que existe psi(x,y) com
partialpsi/partial x=M. Integramos em x:
psi(x,y) =integrall(x^2y^3-11+9x^2r),dx =x^3y^33 -13arctan(3x) +H(y)

Passo 4

Agora exigimos partialpsi/partial y=N:
partialpsipartial y =x^3y^2+H'(y)=x^3y^2,
logo H'(y)=0 e H(y)=const. A solução implícita fica
x^3y^33-13arctan(3x)=C

Resposta

Multiplicando por 3, uma forma mais simples da constante geral é
x^3y^3-arctan(3x)=C

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