1. Verifique se a equacao (cos x sen x-x y 2) d x=-y(1-x 2) d y pode ser tornada exata com fator integrante.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ver se a equação ( cos xsin x - x y^2,dx = -y(1 - x^2),dy) pode virar exata usando fator integrante. O conteúdo é equações diferenciais exatas: a gente vai precisar identificar M(x,y) e N(x,y), testar a condição de exatidão ( partial M/partial y = partial N/partial x) e, se não for exata, procurar um mu(x,y).

Passo 2

Primeiro a gente escreve no formato padrão M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Como o enunciado dá M,dx = -N,dy, então

Passo 3

M(x,y)=cos xsin x - x y^2, N(x,y)=y(1 - x^2)

Passo 4

Agora testamos exatidão. Calcular

Passo 5

partial Mpartial y= -2x y, partial Npartial x=ycdot(-2x)= -2x y

Passo 6

Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação já é exata.

Passo 7

Portanto não precisamos buscar nenhum fator integrante não trivial; o fator integrante é simplesmente mu(x,y)=1.

Resposta

A equação já é exata, então não é preciso fator integrante (ou seja, mu(x,y)=1).

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