Verifique se são espaços vetoriais:
A=\{[0 a ; b 0] ; a, b \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A=\left\{\begin{pmatrix}0 & a \\[4pt] b & 0\end{pmatrix} \\ ;\\ a,b\in\mathbb{R}\right\}
é um espaço vetorial. Informações dadas que vamos usar:
  • Os elementos de A são matrizes 2\times2 com zeros na diagonal principal e entradas reais a e b fora da diagonal.
  • O corpo de escalares é \mathbb{R} (ou seja, a multiplicação escalar é por números reais).
  • Assume-se as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de matriz por escalar.]

Passo 2

Lembrete rápido do que precisamos checar (explicando com calma):
  • Podemos provar que A é um espaço vetorial mostrando que é um subespaço do espaço vetorial conhecido M_2(\mathbb{R}) (todas as matrizes 2\times2 com entradas reais). Para isso basta verificar três coisas básicas:
    1. A não é vazio (contém a matriz zero).
    2. A é fechado para soma: soma de duas matrizes de A pertence a A.
    3. A é fechado para multiplicação por escalar: escalar vezes uma matriz de A pertence a A.
      Se essas três propriedades valem, então A herda todas as demais propriedades de espaço vetorial de M_2(\mathbb{R}) e, portanto, é um espaço vetorial.

Passo 3

Verificar que A não é vazio (existe a matriz zero em A):
  • Tomando a=0 e b=0 obtemos a matriz zero
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que pertence a A. Portanto A\neq\varnothing.]

Passo 4

Verificar fechamento por adição (explicar passo a passo):
  • Seja
X=\begin{pmatrix}0 & a_1 \\[4pt] b_1 & 0\end{pmatrix}\in A \qquad\text{e}\qquad Y=\begin{pmatrix}0 & a_2 \\[4pt] b_2 & 0\end{pmatrix}\in A,
com a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}.
  • A soma é, pelas regras usuais de soma de matrizes,
X+Y=\begin{pmatrix}0 & a_1 \\[4pt] b_1 & 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0 & a_2 \\[4pt] b_2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0+0 & a_1+a_2 \\[4pt] b_1+b_2 & 0+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & a_1+a_2 \\[4pt] b_1+b_2 & 0\end{pmatrix}.
  • Como a_1+a_2\in\mathbb{R} e b_1+b_2\in\mathbb{R}, a matriz soma tem a mesma forma e, logo, X+Y\in A.
  • Conclusão: A é fechado por adição.]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (explicar passo a passo):
  • Seja c\in\mathbb{R} e take X=\begin{pmatrix}0 & a \\[4pt] b & 0\end{pmatrix}\in A.
  • A multiplicação escalar é
cX=c\begin{pmatrix}0 & a \\[4pt] b & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c\cdot 0 & c\cdot a \\[4pt] c\cdot b & c\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & ca \\[4pt] cb & 0\end{pmatrix}.
  • Como ca,cb\in\mathbb{R}, a matriz cX também tem a forma exigida, logo cX\in A.
  • Conclusão: A é fechado por multiplicação por escalar.]

Passo 6

Concluir que A é um espaço vetorial:
  • Já mostramos que A contém o zero, é fechado por soma e por multiplicação por escalar. Portanto A é um subespaço de M_2(\mathbb{R}).
  • Sendo subespaço de um espaço vetorial, A é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 7

Observação extra (útil para a prova): base e dimensão de A
  • Seja
E_1=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Qualquer elemento de A pode ser escrito como
\begin{pmatrix}0 & a \\[4pt] b & 0\end{pmatrix}=aE_1+bE_2.
  • E_1 e E_2 são linearmente independentes (nenhuma combinação linear trivial as anula a menos que os coeficientes sejam zero). Logo \{E_1,E_2\} é uma base de A e \dim(A)=2.
  • Essa parte não era estritamente necessária para decidir se A é espaço vetorial, mas é uma informação prática para problemas futuros (por exemplo: coordenadas, projeções, etc.).]

Resposta

Sim. A é um espaço vetorial (subespaço de M_2(\mathbb{R})); uma base é \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\right\} e \dim(A)=2.]

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