Verifique se são espaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial. Informações dadas que vamos usar:
- Os elementos de
são matrizes com zeros na diagonal principal e entradas reais e fora da diagonal. - O corpo de escalares é
(ou seja, a multiplicação escalar é por números reais). - Assume-se as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de matriz por escalar.]
Passo 2
Lembrete rápido do que precisamos checar (explicando com calma):
- Podemos provar que
é um espaço vetorial mostrando que é um subespaço do espaço vetorial conhecido (todas as matrizes com entradas reais). Para isso basta verificar três coisas básicas: -
não é vazio (contém a matriz zero). -
é fechado para soma: soma de duas matrizes de pertence a . -
é fechado para multiplicação por escalar: escalar vezes uma matriz de pertence a .
Se essas três propriedades valem, entãoherda todas as demais propriedades de espaço vetorial de e, portanto, é um espaço vetorial.
-
Passo 3
Verificar que
não é vazio (existe a matriz zero em
):
- Tomando
e obtemos a matriz zero
que pertence a
. Portanto
.]
Passo 4
Verificar fechamento por adição (explicar passo a passo):
- Seja
com
.
- A soma é, pelas regras usuais de soma de matrizes,
- Como
e , a matriz soma tem a mesma forma e, logo, . - Conclusão:
é fechado por adição.]
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (explicar passo a passo):
- Seja
e take . - A multiplicação escalar é
- Como
, a matriz também tem a forma exigida, logo . - Conclusão:
é fechado por multiplicação por escalar.]
Passo 6
Concluir que
é um espaço vetorial:
- Já mostramos que
contém o zero, é fechado por soma e por multiplicação por escalar. Portanto é um subespaço de . - Sendo subespaço de um espaço vetorial,
é um espaço vetorial sobre .
Passo 7
Observação extra (útil para a prova): base e dimensão de
- Seja
- Qualquer elemento de
pode ser escrito como
-
e são linearmente independentes (nenhuma combinação linear trivial as anula a menos que os coeficientes sejam zero). Logo é uma base de e . - Essa parte não era estritamente necessária para decidir se
é espaço vetorial, mas é uma informação prática para problemas futuros (por exemplo: coordenadas, projeções, etc.).]
Resposta
Sim.
é um espaço vetorial (subespaço de
); uma base é
e
.]