Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
(2 x+4 y) d x+(2 y-2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x + 4y)\,dx + (2y - 2)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Para isso, identificamos
M(x,y) = 2x + 4y \quad\text{e}\quad N(x,y) = 2y - 2.

Passo 2

Uma equação é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 4y) = 4,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2y - 2) = 0.

Passo 3

Como 4 \neq 0, concluímos que
\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x},
logo a equação diferencial não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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