Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right) d x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx + \bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr)\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, que exigem calcular derivadas parciais e, se forem iguais, buscar uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y),\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).

Passo 2

Definimos
M(x,y)=3x^{2}-2xy+2,\quad N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial \Psi(x,y), integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx = x^{3} - x^{2}y + 2x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora exigimos que
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = -\,x^{2} + h'(y)
coincida com N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3. Assim
-\,x^{2} + h'(y) = -\,x^{2} + 6y^{2} + 3 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=6y^{2}+3.
Integrando em y,
h(y)=\int (6y^{2}+3)\,dy = 2y^{3}+3y + C.
Portanto a função potencial completa é
\Psi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x + 2y^{3}+3y.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
x^{3} - x^{2}y + 2x + 2y^{3} + 3y = C,
onde C é constante arbitrária.

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