Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, que exigem calcular derivadas parciais e, se forem iguais, buscar uma função potencial
tal que
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Agora exigimos que
coincida com
. Assim
Integrando em
,
Portanto a função potencial completa é
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.