Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas: y'(t + y) + y = t Res.: y^2 + 2 t y - t^2 = C

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui: temos uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é primeiro verificar se essa equação é homogênea e depois encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial homogênea. Uma equação é dita homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando considerados como funções de e .
Na nossa equação , vamos reorganizar para facilitar a análise:
Agora, verificamos os graus de cada termo:
  • : é de primeiro grau, e também são de primeiro grau, então o produto é de segundo grau.
  • : primeiro grau.
  • : primeiro grau.
Como os termos não têm o mesmo grau, na verdade, a equação não é homogênea no sentido tradicional. Parece que pode ter havido uma interpretação diferente ou um erro no enunciado. Contudo, vamos prosseguir para resolver a equação dada.

Passo 3

Vamos reescrever a equação original para facilitar a resolução:
Isolando :
Agora, temos a equação em termos de . Podemos rearranjar para separação de variáveis:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então .
Substituindo na equação:
Simplificando o lado direito:
Então:
Agora, multiplicando ambos os lados por :
Isso nos leva a uma equação que podemos integrar:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Lembrando que :
Explicando melhor: expandindo o quadrado à esquerda:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação é .

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