Verifique que as equações diferenciais abaixo são homogêneas, em seguida calcule a solução geral das mesmas:
Res.:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui: temos uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo é primeiro verificar se essa equação é homogênea e depois encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial homogênea. Uma equação é dita homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando considerados como funções de
e
.
Na nossa equação
, vamos reorganizar para facilitar a análise:
Agora, verificamos os graus de cada termo:
-
: é de primeiro grau, e também são de primeiro grau, então o produto é de segundo grau. -
: primeiro grau. -
: primeiro grau.
Como os termos não têm o mesmo grau, na verdade, a equação não é homogênea no sentido tradicional. Parece que pode ter havido uma interpretação diferente ou um erro no enunciado. Contudo, vamos prosseguir para resolver a equação dada.
Passo 3
Vamos reescrever a equação original para facilitar a resolução:
Isolando
:
Agora, temos a equação em termos de
. Podemos rearranjar para separação de variáveis:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
.
Substituindo na equação:
Simplificando o lado direito:
Então:
Agora, multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos leva a uma equação que podemos integrar:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Lembrando que
:
Explicando melhor: expandindo o quadrado à esquerda:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação é
.