Verifique se as equações diferenciais são exatas ou não e as resolva:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante para torná-la exata e então resolver. O conteúdo é equações diferenciais exatas e integração de fatores integrantes que dependem só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
que dependa só de
. Para isso usamos a condição
que é função só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos
com
Agora verificamos
logo a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
e
. Integramos
em
:
Agora derivamos em
e igualamos a
:
Então
é constante.
Passo 6
A solução implícita fica
com
constante de integração. Podemos multiplicar por 3 para simplificar: