Verifique se as equações diferenciais são exatas ou não e as resolva:
\left(x^{3}-y^{3}\right) d x+x y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
\bigl(x^{3}-y^{3}\bigr)\,dx + x\,y^{2}\,dy = 0
é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante para torná-la exata e então resolver. O conteúdo é equações diferenciais exatas e integração de fatores integrantes que dependem só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^{3} - y^{3}, \quad N(x,y) = x\,y^{2}.
Calculamos as parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -3\,y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}.
Como -3y^{2}\neq y^{2}, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu(x) que dependa só de x. Para isso usamos a condição
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} =\frac{-3y^{2}-y^{2}}{x\,y^{2}} =\frac{-4}{x},
que é função só de x. Logo
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{-4}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-4\ln|x|\bigr) = x^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-4}. Obtemos
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0,
com
M^*(x,y) = x^{-4}(x^{3}-y^{3}) = x^{-1} - x^{-4}y^{3}, \quad N^*(x,y) = x^{-4}\,x\,y^{2} = x^{-3}y^{2}.
Agora verificamos
\frac{\partial M^*}{\partial y} = -3\,x^{-4}y^{2}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} = -3\,x^{-4}y^{2},
logo a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe \Psi(x,y) tal que \Psi_x = M^* e \Psi_y = N^*. Integramos M^* em x:
\Psi(x,y) = \int\bigl(x^{-1} - x^{-4}y^{3}\bigr)\,dx = \ln|x| + \frac{1}{3}x^{-3}y^{3} + h(y).
Agora derivamos em y e igualamos a N^*:
\Psi_y = \frac{1}{3}x^{-3}\cdot 3y^{2} + h'(y) = x^{-3}y^{2} + h'(y) \stackrel!= x^{-3}y^{2} \;\Longrightarrow\; h'(y)=0.
Então h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita fica
\Psi(x,y) = \ln|x| + \frac{1}{3}x^{-3}y^{3} = C,
com C constante de integração. Podemos multiplicar por 3 para simplificar:
3\ln|x| + x^{-3}y^{3} = C'.

Resposta

3\ln|x| + \frac{y^{3}}{x^{3}} = C'.

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