Verifique que a esfera
pode ser vista como superf’ıcie de revolu,c^ao em torno do eixo OY. Determine a curva geratriz.
Passo 1
O enunciado diz que a esfera
pode ser obtida como superfície de revolução em torno do eixo
. O que precisamos usar é a definição de superfície de revolução: basta encontrar uma curva no plano que, ao girar em torno de
, gere todos os pontos da esfera.
Passo 2
Para achar essa curva, observe a interseção da esfera com o plano
. Impondo
na equação da esfera vem
Isso é um círculo de raio
no plano
. Agora, um ponto genérico desse círculo é
com
. Se girarmos esse ponto ao redor do eixo
, o novo ponto será
para
. Então
o que recupera exatamente a equação da esfera.
Passo 3
Para que a curva geratriz seja única (sem redundâncias) basta tomar a “metade” desse círculo com
. Logo, a curva geratriz é o semicírculo do plano
dado por
Em forma paramétrica, podemos escrever
Resposta
A curva geratriz é o semicírculo
ou parametrizado por