Verifique que a esfera x 2+y 2+z 2=r 2 pode ser vista como superf’ıcie de revolu,c^ao em torno do eixo OY. Determine a curva geratriz.

Passo 1

O enunciado diz que a esfera
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
pode ser obtida como superfície de revolução em torno do eixo OY. O que precisamos usar é a definição de superfície de revolução: basta encontrar uma curva no plano que, ao girar em torno de OY, gere todos os pontos da esfera.

Passo 2

Para achar essa curva, observe a interseção da esfera com o plano z=0. Impondo z=0 na equação da esfera vem
x^2 + y^2 = r^2,\quad z=0.
Isso é um círculo de raio r no plano z=0. Agora, um ponto genérico desse círculo é (x,y,0) com x^2+y^2=r^2. Se girarmos esse ponto ao redor do eixo OY, o novo ponto será
(x\cos\theta,\;y,\;x\sin\theta),
para \theta\in[0,2\pi). Então
(x\cos\theta)^2 + y^2 + (x\sin\theta)^2 = x^2 + y^2 = r^2,
o que recupera exatamente a equação da esfera.

Passo 3

Para que a curva geratriz seja única (sem redundâncias) basta tomar a “metade” desse círculo com x\ge0. Logo, a curva geratriz é o semicírculo do plano z=0 dado por
\mathcal{C}=\bigl\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2=r^2,\;x\ge0\bigr\}.
Em forma paramétrica, podemos escrever
\alpha(t)=\bigl(r\cos t,\;r\sin t,\;0\bigr), \quad t\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Resposta

A curva geratriz é o semicírculo
\mathcal{C}=\bigl\{(x,y,0)\mid x^2+y^2=r^2,\;x\ge0\bigr\},
ou parametrizado por
\alpha(t)=(r\cos t,\;r\sin t,\;0),\quad t\in\Bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\Bigr].

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