Verifique que:
A Fórmula de De Moivre é válida para n \in \mathbb{Z}, n<0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a fórmula de De Moivre,
(\cos x + i\sin x)^{n} = \cos(nx) + i\sin(nx),
continua válida quando n é inteiro negativo. Vamos usar a definição de potência negativa como recíproco e a versão positiva da fórmula de De Moivre.

Passo 2

Lembramos que, para todo inteiro m\ge0, a fórmula de De Moivre já garante
(\cos x + i\sin x)^{m} = \cos(mx) + i\sin(mx).
Em particular, essa igualdade vale para qualquer m\in\mathbb{N}.

Passo 3

Para estender a potência a expoentes negativos, usamos que, por definição de potência,
(\cos x + i\sin x)^{n} = \frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{-n}} \quad\text{quando \(n<0\).}
Escrevendo n=-m com m>0, temos
(\cos x + i\sin x)^{n} = \frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}}.

Passo 4

Pelo passo 2,
(\cos x + i\sin x)^{m} = \cos(mx) + i\sin(mx).
Logo,
(\cos x + i\sin x)^{n} = \frac{1}{\cos(mx) + i\sin(mx)}.
Mas o conjugado de \cos(mx)+i\sin(mx) é \cos(mx)-i\sin(mx) e
\cos^2(mx)+\sin^2(mx)=1,
portanto
\frac{1}{\cos(mx)+i\sin(mx)} = \cos(mx)-i\sin(mx) = \cos(-mx)+i\sin(-mx).

Passo 5

Como n=-m, temos -mx = nx. Logo
(\cos x + i\sin x)^{n} = \cos(nx) + i\sin(nx),
mostrando que a fórmula de De Moivre vale também para n<0.

Resposta

A fórmula de De Moivre
(\cos x + i\sin x)^{n} = \cos(nx) + i\sin(nx)
é válida para todo n\in\mathbb{Z}, incluindo n<0.

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