Verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada.
2 y^prime=y^3 cos x ; y=(1-sen x)^-1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y=(1-senx)^-1/2
satisfaz a equação diferencial
2,y' = y^3cos x
Vamos usar regras de derivação (cadeia e potência) para calcular y' e depois comparar 2y' com y^3cos x.

Passo 2

Calcular y'. Escrevendo y=(1-senx)^-1/2, pela regra da cadeia e da potência:
y' = -tfrac12,(1-senx)^-3/2,ddx(1-senx)
Como ddx(1-senx)=-cos x, segue
y' = -tfrac12,(1-senx)^-3/2,(-cos x) =tfrac12,(1-senx)^-3/2cos x

Passo 3

Multiplicando por 2, obtemos o lado esquerdo da ODE:
2,y' = 2cdot tfrac12,(1-senx)^-3/2cos x =(1-senx)^-3/2cos x

Passo 4

Agora o lado direito da ODE é y^3cos x. Como
y^3 = l((1-senx)^-1/2r)^3 =(1-senx)^-3/2,
segue
y^3cos x = (1-senx)^-3/2cos x

Passo 5

Comparando os dois lados, vemos que
2,y' = (1-senx)^-3/2cos x e y^3cos x = (1-senx)^-3/2cos x,
logo 2,y'=y^3cos x. Assim, a função dada satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função y=(1-senx)^-1/2 é solução da ODE 2,y'=y^3cos x.

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