Verifique se f é contínua e derivável no ponto x_{0}, sendo:
f(x)=\cos (\sqrt{|x|}), x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\cos\bigl(\sqrt{|x|}\bigr)
é contínua e derivável no ponto x_{0}=0. Para isso vamos usar definição de limite para continuidade e quociente incremental para derivada.

Passo 2

Para a continuidade, calculamos
\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\cos\bigl(\sqrt{|x|}\bigr).
Como \sqrt{|x|}\to0, temos \cos(\sqrt{|x|})\to\cos(0)=1. Além disso,
f(0)=\cos\bigl(\sqrt{|0|}\bigr)=\cos(0)=1.
Como \lim_{x\to0}f(x)=f(0), f é contínua em 0.

Passo 3

Para a derivabilidade, usamos
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\cos(\sqrt{|x|})-1}{x}.
É preciso verificar se os limites laterais coincidem.

Passo 4

Limite à direita ( x\to0^+). Seja h=x>0. Então
\frac{\cos(\sqrt{h})-1}{h} =\frac{\cos(t)-1}{t^2},
com t=\sqrt{h}\to0. Como
\cos(t)=1-\tfrac{t^2}{2}+o(t^2),
segue
\frac{\cos(t)-1}{t^2}=-\tfrac12+o(1)\;\longrightarrow\;-\tfrac12.
Logo
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=-\tfrac12.

Passo 5

Limite à esquerda ( x\to0^-). Seja h=x<0 e u=|h|=-h>0. Então
\frac{\cos(\sqrt{|h|})-1}{h} =\frac{\cos(\sqrt{u})-1}{-\,u} =-\frac{\cos(\sqrt{u})-1}{u}.
Como \cos(\sqrt{u})-1\sim-\tfrac{u}{2}, temos
-\frac{-\tfrac{u}{2}+o(u)}{u} =\tfrac12+o(1)\;\longrightarrow\;\tfrac12.
Logo
\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\tfrac12.

Passo 6

Os limites laterais são
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=-\tfrac12 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\tfrac12,
que são diferentes. Portanto o limite não existe e f não é derivável em 0.

Resposta

f é contínua em x_{0}=0 e não é derivável em x_{0}=0.

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