Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função f(x)=\lvert sin x\rvert é contínua e derivável em x₀=0. O conteúdo envolve os conceitos de continuidade (limite igual ao valor da função) e derivabilidade (limites laterais do quociente diferenciam) e vamos usar propriedades do valor absoluto e da função seno.
Passo 2
Para checar continuidade em x₀=0 escolhemos calcular o limite \lim_{x→0} f(x) e comparar com f(0). Temos f(0)=\lvert sin 0\rvert=0. Como sin x→0 quando x→0, segue que
e portanto \lim_{x→0} f(x)=f(0), mostrando que f é contínua em 0.
Passo 3
Para verificar derivabilidade em 0, usamos a definição via limite do quociente:
Passo 4
Perto de zero, sin x é positivo para x>0 e negativo para x<0, então podemos escrever
Cálculo do derivado à direita:
Cálculo do derivado à esquerda:
Como f’+(0)=1≠-1=f’-(0), os limites laterais não coincidem e f não é derivável em 0.
Resposta
A função f é contínua em x₀=0, mas não é derivável em x₀=0.