Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo: f(x)=|sen x|, x0=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=\lvert sin x\rvert é contínua e derivável em x₀=0. O conteúdo envolve os conceitos de continuidade (limite igual ao valor da função) e derivabilidade (limites laterais do quociente diferenciam) e vamos usar propriedades do valor absoluto e da função seno.

Passo 2

Para checar continuidade em x₀=0 escolhemos calcular o limite \lim_{x→0} f(x) e comparar com f(0). Temos f(0)=\lvert sin 0\rvert=0. Como sin x→0 quando x→0, segue que
limx→0 f(x)=limx→0 lvert sin xrvert=lvertlimx→0 sin xrvert=0,
e portanto \lim_{x→0} f(x)=f(0), mostrando que f é contínua em 0.

Passo 3

Para verificar derivabilidade em 0, usamos a definição via limite do quociente:
f'(0)=limh→0f(h)-f(0)h

Passo 4

Perto de zero, sin x é positivo para x>0 e negativo para x<0, então podemos escrever
f(x)=sin x,&x>0,-sin x,&x<0
Cálculo do derivado à direita:
f'+(0)=limh→0^+sin h-0h=limh→0^+sin hh=1
Cálculo do derivado à esquerda:
f'-(0)=limh→0^--sin h-0h=limh→0^-l(-sin hhr)=-1
Como f’+(0)=1≠-1=f’-(0), os limites laterais não coincidem e f não é derivável em 0.

Resposta

A função f é contínua em x₀=0, mas não é derivável em x₀=0.

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