Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo: f(x)=|sen(x^5)|, x0=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=|sinl(x^5r)|
é contínua e derivável no ponto x0=0. Vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções compostas e da definição de derivada.

Passo 2

Para mostrar que f é contínua em 0, lembramos que uma função é contínua num ponto quando
limxto0f(x)=f(0)
Aqui temos:
f(0)=l|sin(0^5)r|=0
E como sin(x^5) é contínua,
limxto0|sin(x^5)|=|limxto0sin(x^5)|=|0|=0
Logo,
limxto0f(x)=0=f(0),
portanto f é contínua em 0.

Passo 3

Para verificar a derivabilidade em 0, usamos a definição:
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h = limhto0l|sin(h^5)r|-0h=limhto0l|sin(h^5)r|h
Para estudar esse limite, note que para todo t vale
|sin t|<=|t|
Substituindo t=h^5 temos
$$\bigl|\sin(h5)\bigr|\le|h5|=|h|^5.
l|sin(h^5)r|<=|h^5|=|h|^5 ã0\le\frac{\bigl|\sin(h^5)\bigr|}{|h|} \le\frac{|h|^5}{|h|} = |h|^4.
0<=l|sin(h^5)r||h| <=|h|^5|h| = |h|^4 \lim_{h\to0}\frac{\bigl|\sin(h^5)\bigr|}{h}=0.$$
Assim limhto0|h|^4=0, mostrando que limhto0l|sin(h^5)r|h=0 é derivável em f'(0)=0.

Resposta

A função é contínua e derivável em x0=0 e f'(0)=0.

Exercícios relacionados