Verifique se
f(x)= 11-x & x<2 x^3+1 & x >= 2
é contínua em x=2.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente checar se a função
f(x)= 11 - x, & x < 2, x^3 + 1, & x >= 2
é contínua em . O conteúdo aqui é “continuidade de função definida por partes” e a gente vai precisar usar:
  1. limite quando se aproxima de 2 pela esquerda (limite à esquerda),
  2. limite quando se aproxima de 2 pela direita (limite à direita),
  3. valor da função em ,
    e comparar tudo conforme a definição de continuidade.

Passo 2

Primeiro, recapitula a definição de continuidade num ponto limxto a^- f(x) =limxto a^+ f(x) = f(a) :
A função é contínua em se e somente se
  1. existe,
  2. existe,
  3. e esses dois limites são iguais entre si e iguais a .
    Em símbolos:

Passo 3

Calcula o limite pela esquerda ( limxto2^- f(x) = limxto2^- (11 - x) = 11 - 2 = 9 ). Nesse caso usamos a parte “ ” porque vale para :

Passo 4

Agora o limite pela direita ( limxto2^+ f(x) = limxto2^+ (x^3 + 1) = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 ). Aí a parte “ ” vale para :

Passo 5

Determina o valor da função em f(2) = 2^3 + 1 = 9 . Como em usamos a regra de “ ”:

Passo 6

Compara tudo:
, e .
Como limites laterais existem, são iguais entre si e igual ao valor da função, a definição de continuidade está satisfeita.

Resposta

Sim, limxto2^-f(x) =limxto2^+f(x) =f(2)=9 é contínua em , pois

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