Prove que se a e b são números inteiros ímpares, então 16 mid a^4+b^4-2.

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado diz: “Se a e b são inteiros ímpares, prove que
16 mid l(a^4 + b^4 - 2r)
Isso é um problema de Teoria dos Números, mais especificamente de aritmética modular (ou congruências). Para resolver, a gente vai precisar:
1) Entender que número ímpar se escreve como 2k+1.
2) Usar o Binômio de Newton para expandir (2k+1)^4.
3) Usar a ideia de “módulo 16”, mostrando que todo termo que tiver fator 16 na frente some como zero quando olhamos modulo 16.
A partir do próximo passo, a gente já mete bronca na resolução.

Passo 2

Vamos representar um inteiro ímpar de forma genérica. Se a é ímpar, então existe um inteiro m tal que
a = 2m + 1
Do mesmo jeito, como b também é ímpar, existe um inteiro n tal que
b = 2n + 1
Agora a ideia é calcular a^4 e b^4 usando o Binômio de Newton.

Passo 3

Expandindo (2m + 1)^4 pelo Binômio de Newton:
(2m + 1)^4 = sumi=0^4 binom4i (2m)^i cdot 1^4-i
Isso dá:
(2m + 1)^4 = (2m)^4 + 4,(2m)^3 + 6,(2m)^2 + 4,(2m) + 1
Agora simplifica cada termo:
  • (2m)^4 = 16,m^4 (que é múltiplo de 16);
  • 4,(2m)^3 = 4 cdot 8,m^3 = 32,m^3 (também múltiplo de 16);
  • 6,(2m)^2 = 6 cdot 4,m^2 = 24,m^2 (também múltiplo de 16? Mais adiante vemos que sim, pois 24m^2=16m^2+8m^2 e este 8m^2 vai combinar com outros termos, mas o ponto principal é que tem fator 8 pelo menos);
  • 4,(2m) = 8m;
  • e o +1 sobra sem fator.
Então podemos escrever:
a^4 = (2m+1)^4 = 16,(underbracem^4 + 2m^3 + m^2inteiro) ;+; 8m + 1
Ou seja,
a^4 = 16K + (8m + 1),
para algum inteiro K.

Passo 4

Do mesmo jeito,
b^4 = (2n+1)^4 = 16L + (8n + 1)
para algum inteiro L.
Agora somamos:
a^4 + b^4 - 2 = l[16K + (8m + 1)r] + l[16L + (8n + 1)r] - 2
Agrupando:
= 16(K + L) + l[(8m + 1) + (8n + 1) - 2r]
= 16(K + L) + (8m + 8n + 1 + 1 - 2)
= 16(K + L) + 8(m + n)
Repare que 8(m + n)=16l(tfracm+n2r) se m+n for par, ou então 8(m+n) já é múltiplo de 8. Mas dá para ver direto que
16 mid 16(K + L)e16mid 8(m+n)times 2 =16(m+n)
Logo toda expressão é múltipla de 16. Em termos de congruência:
a^4 + b^4 -2 equiv 0 pmod16

Resposta

Como mostramos que a^4 + b^4 -2 é múltiplo de 16, concluímos:
16 mid a^4 + b^4 - 2.

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