Prove que se e são números inteiros ímpares, então .
Passo 1
Beleza, vamos por partes. O enunciado diz: “Se e são inteiros ímpares, prove que
Isso é um problema de Teoria dos Números, mais especificamente de aritmética modular (ou congruências). Para resolver, a gente vai precisar:
1) Entender que número ímpar se escreve como .
2) Usar o Binômio de Newton para expandir .
3) Usar a ideia de “módulo 16”, mostrando que todo termo que tiver fator 16 na frente some como zero quando olhamos modulo 16.
A partir do próximo passo, a gente já mete bronca na resolução.
Passo 2
Vamos representar um inteiro ímpar de forma genérica. Se é ímpar, então existe um inteiro tal que
Do mesmo jeito, como também é ímpar, existe um inteiro tal que
Agora a ideia é calcular e usando o Binômio de Newton.
Passo 3
Expandindo pelo Binômio de Newton:
Isso dá:
Agora simplifica cada termo:
(que é múltiplo de 16);
(também múltiplo de 16);
(também múltiplo de 16? Mais adiante vemos que sim, pois e este vai combinar com outros termos, mas o ponto principal é que tem fator 8 pelo menos);
;
e o sobra sem fator.
Então podemos escrever:
Ou seja, a^4 = 16K + (8m + 1),
para algum inteiro K.
Passo 4
Do mesmo jeito,
b^4 = (2n+1)^4 = 16L + (8n + 1)
para algum inteiro L.
= 16(K + L) + 8(m + n)
Repare que 8(m + n)=16l(tfracm+n2r) se m+n for par, ou então 8(m+n) já é múltiplo de 8. Mas dá para ver direto que 16 mid 16(K + L)e16mid 8(m+n)times 2 =16(m+n)
Logo toda expressão é múltipla de 16. Em termos de congruência:
a^4 + b^4 -2 equiv 0 pmod16
Resposta
Como mostramos que a^4 + b^4 -2 é múltiplo de 16, concluímos: 16 mid a^4 + b^4 - 2.