Verifique se a família indicada é solução da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nosso objetivo aqui é verificar se a família de funções dada,
é realmente solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
até a terceira ordem e substituir essas derivadas na EDO para ver se a igualdade é satisfeita. Vamos também precisar lembrar de algumas regras básicas de derivação, como a regra do poder e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que é
.
A função
é composta por quatro termos:
Vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do poder e a regra do produto quando necessário.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aqui usamos a regra do produto:
, onde
e
.
- Derivada de
:
Agora, juntando todas as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
.
Já temos
:
Vamos derivar cada termo novamente:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Agora, juntando todas as derivadas:
Passo 4
Vamos agora encontrar a terceira derivada de
, isto é,
.
Já temos
:
Vamos derivar cada termo novamente:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Agora, juntando todas as derivadas:
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir
,
,
e
na Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Vamos substituir cada termo:
-
:
-
:
-
:
-
:
Agora, somamos todos esses termos:
Resposta
Depois de substituir e simplificar todos os termos, a equação resultante é
, que é igual ao lado direito da EDO. Portanto, a família de funções dada é de fato solução da equação diferencial.