Verifique se a família indicada é solução da EDO dada.
x^3 y^prime prime prime+2 x^2 y^prime prime-x y^prime+y=12 x^2 com y(x)=c1 x^-1+c2 x+c3 x ln (x)+4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nosso objetivo aqui é verificar se a família de funções dada,
y(x) = c1 x^-1 + c2 x + c3 x ln(x) + 4x^2,
é realmente solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
x^3 y''' + 2x^2 y'' - x y' + y = 12x^2
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de y(x) até a terceira ordem e substituir essas derivadas na EDO para ver se a igualdade é satisfeita. Vamos também precisar lembrar de algumas regras básicas de derivação, como a regra do poder e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de y(x) , que é y'(x) .
A função y(x) é composta por quatro termos:
  1. c1 x^-1
  2. c2 x
  3. c3 x ln(x)
  4. 4x^2
Vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do poder e a regra do produto quando necessário.
  • Derivada de c1 x^-1 :
ddx (c1 x^-1) = c1 cdot (-1) x^-2 = -c1 x^-2
  • Derivada de c2 x :
ddx (c2 x) = c2
  • Derivada de c3 x ln(x) :
Aqui usamos a regra do produto: ddx [u cdot v] = u'v + uv' , onde u = x e v = ln(x) .
ddx (c3 x ln(x)) = c3 (ddx x cdot ln(x) + x cdot ddx ln(x)) = c3 (1 cdot ln(x) + x cdot 1x) = c3 (ln(x) + 1)
  • Derivada de 4x^2 :
ddx (4x^2) = 8x
Agora, juntando todas as derivadas:
y'(x) = -c1 x^-2 + c2 + c3 (ln(x) + 1) + 8x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de y(x) , ou seja, y''(x) .
Já temos y'(x) :
y'(x) = -c1 x^-2 + c2 + c3 (ln(x) + 1) + 8x
Vamos derivar cada termo novamente:
  • Derivada de -c1 x^-2 :
ddx (-c1 x^-2) = -c1 cdot (-2) x^-3 = 2c1 x^-3
  • Derivada de c2 :
ddx (c2) = 0
  • Derivada de c3 (ln(x) + 1) :
ddx [c3 (ln(x) + 1)] = c3 cdot 1x + 0 = c3x
  • Derivada de 8x :
ddx (8x) = 8
Agora, juntando todas as derivadas:
y''(x) = 2c1 x^-3 + c3x + 8

Passo 4

Vamos agora encontrar a terceira derivada de y(x) , isto é, y'''(x) .
Já temos y''(x) :
y''(x) = 2c1 x^-3 + c3x + 8
Vamos derivar cada termo novamente:
  • Derivada de 2c1 x^-3 :
ddx (2c1 x^-3) = 2c1 cdot (-3) x^-4 = -6c1 x^-4
  • Derivada de c3x :
ddx ( c3x ) = c3 cdot (-1) x^-2 = -c3 x^-2
  • Derivada de 8 :
ddx (8) = 0
Agora, juntando todas as derivadas:
y'''(x) = -6c1 x^-4 - c3 x^-2

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir y , y' , y'' e y''' na Equação Diferencial Ordinária (EDO):
x^3 y''' + 2x^2 y'' - x y' + y = 12x^2
Vamos substituir cada termo:
  1. x^3 y''' :
x^3 cdot (-6c1 x^-4 - c3 x^-2) = -6c1 x^-1 - c3 x
  1. 2x^2 y'' :
2x^2 cdot (2c1 x^-3 + c3x + 8) = 4c1 x^-1 + 2c3 x + 16x^2
  1. -x y' :
-x cdot (-c1 x^-2 + c2 + c3 (ln(x) + 1) + 8x) = c1 x^-1 - c2 x - c3 x (ln(x) + 1) - 8x^2
  1. y :
c1 x^-1 + c2 x + c3 x ln(x) + 4x^2
Agora, somamos todos esses termos:
& (-6c1 x^-1 - c3 x) & + (4c1 x^-1 + 2c3 x + 16x^2) & + (c1 x^-1 - c2 x - c3 x (ln(x) + 1) - 8x^2) & + (c1 x^-1 + c2 x + c3 x ln(x) + 4x^2) = & (-6c1 x^-1 + 4c1 x^-1 + c1 x^-1 + c1 x^-1) & + (-c3 x + 2c3 x - c3 x (ln(x) + 1) + c3 x ln(x)) & + (-c2 x + c2 x) & + (16x^2 - 8x^2 + 4x^2) = & (-6c1 + 4c1 + c1 + c1) x^-1 & + (-c3 + 2c3 - c3 (ln(x) + 1) + c3 ln(x)) x & + 0 & + (16 - 8 + 4) x^2 = & 0 cdot x^-1 + ( -c3 x + 2c3 x - c3 x ln(x) - c3 x + c3 x ln(x) ) + 12x^2 = & 0 + ( (-c3 + 2c3 - c3)x ) + 12x^2 = & 0 + 0 cdot x + 12x^2 = & 12x^2

Resposta

Depois de substituir e simplificar todos os termos, a equação resultante é 12x^2 , que é igual ao lado direito da EDO. Portanto, a família de funções dada é de fato solução da equação diferencial.

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