Verifique se -4 e frac{2}{3} são raízes da equação 3 x^{2}+10 x-8=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação 3x^{2}+10x-8=0 e pede para verificar se os números -4 e \tfrac{2}{3} são raízes dessa equação.
Definição que vamos usar (muito importante): um número r é raiz de um polinômio se, ao substituí-lo na expressão do polinômio, o resultado for 0. Ou seja, testar se r é raiz significa calcular o polinômio em x=r e ver se dá 0.
Informações relevantes dadas:
  • A equação/polinômio: 3x^{2}+10x-8.
  • Valores a testar: x=-4 e x=\tfrac{2}{3}.

Passo 2

Verificação de x=-4. Vamos substituir x=-4 na expressão 3x^{2}+10x-8 e calcular passo a passo:
3(-4)^{2}+10(-4)-8
Primeiro calcule o quadrado:
(-4)^{2}=16,
então
3\cdot16+10\cdot(-4)-8.
Multiplicando:
48-40-8.
Agora somando/subtraindo na ordem:
48-40=8,
e
8-8=0.
Como a substituição resultou em 0, concluímos que -4 é raiz do polinômio.

Passo 3

Verificação de x=\tfrac{2}{3}. Substituímos x=\tfrac{2}{3} na expressão e calculamos com cuidado nas frações:
3\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}+10\left(\tfrac{2}{3}\right)-8.
Calcule o quadrado:
\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},
logo
3\cdot\tfrac{4}{9}+10\cdot\tfrac{2}{3}-8.
Simplificando 3\cdot\tfrac{4}{9}:
3\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{12}{9}=\tfrac{4}{3},
e 10\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{20}{3}. Assim temos
\tfrac{4}{3}+\tfrac{20}{3}-8.
Somando as frações com o mesmo denominador:
\tfrac{4}{3}+\tfrac{20}{3}=\tfrac{24}{3}=8.
Portanto
8-8=0.
Como o resultado também é 0, concluímos que \tfrac{2}{3} é raiz do polinômio.

Passo 4

Breve observação prática (útil para a prova): quando se sabe duas raízes r_{1} e r_{2} de um polinômio quadrático de coeficiente líder a, o polinômio pode ser escrito como a(x-r_{1})(x-r_{2}). Aqui, com r_{1}=-4, r_{2}=\tfrac{2}{3} e a=3, temos
3\bigl(x+4\bigr)\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr).
Multiplicando \bigl(x+4\bigr)\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr)=x^{2}+\tfrac{10}{3}x-\tfrac{8}{3} e em seguida multiplicando por 3 obtém-se exatamente 3x^{2}+10x-8, o que confirma de outra forma que as duas raízes estão corretas. É uma boa técnica para checar ou fatorar rápido no exame.

Resposta

-4 é raiz.
\tfrac{2}{3} é raiz.

Exercícios relacionados