Verifique se a função dada é continua ou não. Se for descontinua, sugira uma mudança de maneira que ela se torne continua ,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função b(x, y) que depende de duas variáveis, x e y . O exercício quer saber se essa função é contínua ou não. Se não for contínua, a gente também precisa sugerir uma forma de mudá-la pra que ela fique contínua. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de várias variáveis e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a definição da função:
b(x, y) = sin(2xy)x & se x neq 0, y in R 1 & se x = 0, y in R
Quando x neq 0 , a função é dada por sin(2xy)x . Essa parte da função parece tranquila e bem definida para qualquer y , então a gente pode dizer que b(x, y) é contínua para todos os pontos onde x neq 0 .
Passo 3
Agora, o ponto crítico é quando x = 0 . A gente precisa verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de b(x, y) quando x se aproxima de 0 e comparar com o valor da função nesse ponto.
Então, vamos calcular:
limx to 0 sin(2xy)x
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que:
limz to 0 sin(z)z = 1
Vamos fazer z = 2xy . Então, à medida que x se aproxima de 0, z também se aproxima de 0 (porque y é constante nesse contexto). Assim:
limx to 0 sin(2xy)x = limx to 0 sin(z)x = limx to 0 sin(z)z cdot zx = 1 cdot 2y = 2y
Portanto, o limite quando x vai para 0 é 2y .
Passo 5
Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função quando x = 0 :
b(0, y) = 1
Para a função ser contínua em x = 0 , o limite que encontramos ( 2y ) precisa ser igual ao valor da função nesse ponto ( 1 ). Ou seja, precisamos que:
2y = 1
Mas isso só é verdadeiro se y = 12 . Como y pode ser qualquer número real, a igualdade não vale para todos os y . Portanto, a função não é contínua em x = 0 .
Passo 6
Para tornar a função contínua, a gente precisa garantir que o limite e o valor da função no ponto [x = 0) sejam iguais. Já vimos que o limite é . Então, para isso acontecer, devemos definir:
Assim, a função fica:
Dessa forma, a função passa a ser contínua para todos os valores de .
Resposta
A função b(x, y) não é contínua quando x = 0 . Para torná-la contínua, podemos redefinir b(0, y) = 2y . Assim, a função fica contínua para todos os valores de x e y .