Verifique se a função dada é continua ou não. Se for descontinua, sugira uma mudança de maneira que ela se torne continua ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma função é contínua ou não. Se ela for descontínua, teremos que sugerir uma mudança para deixá-la contínua. A função que estamos analisando é:
d(x, y) = y^2raizx^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
Isso está relacionado à matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre a continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em (0,0). Uma função d(x, y) é contínua nesse ponto se o limite de d(x, y) quando (x, y) to (0,0) for igual a d(0,0).
Então, vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) y^2raizx^2 + y^2
Para facilitar esse cálculo, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
Onde r é a distância do ponto (x, y) até a origem (0,0) e theta é o ângulo em relação ao eixo x.
Passo 3
Substituindo x e y pelas expressões em coordenadas polares na função, temos:
d(r, theta) = (r sin theta)^2raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2
Agora, vamos analisar o limite limr to 0 r sin^2 theta. Note que sin^2 theta está sempre entre 0 e 1, independentemente do valor de theta. Portanto:
0 <= r sin^2 theta <= r
Conforme r se aproxima de 0, r sin^2 theta também se aproxima de 0, pois r está multiplicando um termo que é limitado.
Assim, o limite é:
limr to 0 r sin^2 theta = 0
Resposta
Como o limite de d(x, y) quando (x, y) to (0,0) é igual a 0, que é o valor de d(0,0), a função d(x, y) é contínua em (0,0). Portanto, a função dada é contínua em todos os pontos do seu domínio, e não precisamos fazer nenhuma alteração.