Verifique se a função dada é continua ou não. Se for descontinua, sugira uma mudança de maneira que ela se torne continua ,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se uma função dada, chamada [c(x, y)), é contínua ou não. Se não for, precisamos sugerir uma modificação para que ela fique contínua. A função está definida da seguinte maneira:
Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso, especialmente no ponto onde a função muda de definição, que nesse caso é o ponto ((0,0)].
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade em funções de várias variáveis. Uma função f(x, y) é contínua em um ponto (a, b) se o limite da função quando (x, y) se aproxima de (a, b) é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
Então, para verificar se c(x, y) é contínua em (0,0), precisamos calcular o limite de c(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) e ver se esse limite é igual a c(0,0) , que é 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite de c(x, y) quando (x, y) vai para (0,0):
lim(x, y) to (0,0) x^4 - y^4x^4 + y^4
Para simplificar isso, podemos usar coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta) , com r representando a distância até o ponto (0,0). Substituindo na função:
(r cos theta)^4 - (r sin theta)^4(r cos theta)^4 + (r sin theta)^4 = r^4 (cos^4 theta - sin^4 theta)r^4 (cos^4 theta + sin^4 theta) = cos^4 theta - sin^4 thetacos^4 theta + sin^4 theta
Perceba que o r^4 cancela, e o resultado depende apenas do ângulo theta . Isso significa que o limite pode variar dependendo do caminho que escolhemos para chegar em (0,0).
Passo 4
Vamos escolher alguns caminhos diferentes para ver se o limite muda:
Caminho y = x :
Substituindo y = x na função:
x^4 - x^4x^4 + x^4 = 02x^4 = 0
Então, o limite nesse caminho é 0.
Caminho y = 0 :
Substituindo y = 0 :
x^4 - 0x^4 + 0 = 1
O limite aqui é 1.
Vemos que dependendo do caminho escolhido, o limite da função c(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) pode ser 0 ou 1. Como o limite não é único, isto é, depende do caminho, concluímos que o limite não existe.
Passo 5
Como o limite não existe, a função c(x, y) não é contínua no ponto (0,0). Para tornar a função contínua nesse ponto, precisamos ajustar o valor de c(0,0) para que ele seja igual ao limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0). Porém, como o limite não existe, não há um único valor que possa ser atribuído a c(0,0) para garantir a continuidade.
Porém, se percorrermos apenas caminhos que levam ao limite 0, podemos definir c(0,0) = 0 . Mas nesse caso, ainda existe pelo menos um caminho que dá um limite diferente (por exemplo, o caminho y = 0 que dá limite 1). Portanto, a função não pode ser tornada contínua apenas ajustando o valor em (0,0).
Resposta
A função c(x, y) não é contínua no ponto (0,0) e não pode ser tornada contínua apenas ajustando o valor em (0,0).