Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, \text { para } x<0 \\\ x-1, \text { para } x \geq 0\end{array}\right. em x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\begin{cases} x+1, & \text{para } x<0,\\[4pt] x-1, & \text{para } x\ge 0 \end{cases}
é contínua em x=0. Informações dadas:
  • Para x<0 a regra é f(x)=x+1.
  • Para x\ge 0 a regra é f(x)=x-1.
  • O ponto a ser testado é x=0.]

Passo 2

Definição prática de continuidade em um ponto a (coisa que cai sempre na prova): a função f é contínua em a se e somente se as três condições seguintes acontecerem simultaneamente:
  1. f(a) está definido.
  2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe.
  3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Explicação do que significa “o limite existe”: isso quer dizer que os limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).

Passo 3

Verificar a condição 1: valor da função em x=0.
Como a definição dá a regra para x\ge 0 como f(x)=x-1, temos
f(0)=0-1=-1.
Portanto f(0) está definido e vale -1.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to0^-} f(x).
Quando x se aproxima de 0 vindo da esquerda temos x<0, então usamos f(x)=x+1. Substituindo x por 0 (procedimento válido para funções polinomiais/lineares ao calcular limite) obtemos
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-} (x+1)=0+1=1.

Passo 5

Calcular o limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to0^+} f(x).
Quando x se aproxima de 0 vindo da direita temos x>0 (ou x\ge0 para o valor no ponto), então usamos f(x)=x-1. Substituindo x por 0 obtemos
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+} (x-1)=0-1=-1.

Passo 6

Comparar os limites laterais:
\lim_{x\to0^-} f(x)=1\quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+} f(x)=-1.
Como os limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to0} f(x) não existe. Logo a condição 2 da definição de continuidade falha.

Passo 7

Concluir sobre continuidade: já que o limite em 0 não existe, a função não satisfaz a condição 2 (e portanto não pode satisfazer a condição 3). Assim, a função não é contínua em x=0.
Comentário didático rápido: esse tipo de descontinuidade, em que os limites laterais existem e são finitos mas são diferentes, chama-se descontinuidade de salto. Na prova, o procedimento padrão é sempre: (i) calcular f(a), (ii) calcular limites laterais, (iii) comparar — se algum passo falhar, dizer que não é contínua e nomear o tipo de descontinuidade se for o caso. Vai dar certo, respira e confia no procedimento!

Resposta

A função não é contínua em x=0.

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