Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de
.
em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua em
. Informações dadas:
- Para
a regra é . - Para
a regra é . - O ponto a ser testado é
.]
Passo 2
Definição prática de continuidade em um ponto
(coisa que cai sempre na prova): a função
é contínua em
se e somente se as três condições seguintes acontecerem simultaneamente:
-
está definido. -
existe. -
.
Explicação do que significa “o limite existe”: isso quer dizer que os limites laterais existem e são iguais:
Passo 3
Verificar a condição 1: valor da função em
.
Como a definição dá a regra para como
, temos
Como a definição dá a regra para
Portanto
está definido e vale
.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda
.
Quando se aproxima de
vindo da esquerda temos
, então usamos
. Substituindo
por
(procedimento válido para funções polinomiais/lineares ao calcular limite) obtemos
Quando
Passo 5
Calcular o limite pela direita
.
Quando se aproxima de
vindo da direita temos
(ou
para o valor no ponto), então usamos
. Substituindo
por
obtemos
Quando
Passo 6
Comparar os limites laterais:
Como os limites laterais são diferentes, o limite
não existe. Logo a condição 2 da definição de continuidade falha.
Passo 7
Concluir sobre continuidade: já que o limite em
não existe, a função não satisfaz a condição 2 (e portanto não pode satisfazer a condição 3). Assim, a função não é contínua em
.
Comentário didático rápido: esse tipo de descontinuidade, em que os limites laterais existem e são finitos mas são diferentes, chama-se descontinuidade de salto. Na prova, o procedimento padrão é sempre: (i) calcular
, (ii) calcular limites laterais, (iii) comparar — se algum passo falhar, dizer que não é contínua e nomear o tipo de descontinuidade se for o caso. Vai dar certo, respira e confia no procedimento!
Resposta
A função não é contínua em
.