Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial:
2 x y d x+(x^2+2 y) d y=0 ; x^2 y+y^2=c1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a curva implícita
x^2y + y^2 = c1
é de fato uma solução da equação diferencial
2x,y,dx + l(x^2+2yr),dy = 0
Aqui estamos tratando de uma equação diferencial exata ou, equivalentemente, de uma primeira integral. Para conferir, basta derivar implicitamente a expressão dada e comparar com o diferencial que aparece na EDO.

Passo 2

Começamos calculando o diferencial da função
Phi(x,y) = x^2y + y^2
Usando a regra do produto em ,x^2y e a derivada de y^2, obtemos
dPhi = d(x^2y) + d(y^2) = l(2x,y,dx + x^2,dyr) + (2y,dy) = 2x,y,dx + l(x^2+2yr),dy
Como o enunciado afirma que Phi(x,y)=c1 é constante, temos dPhi=0. Logo
2x,y,dx + l(x^2+2yr),dy = 0,
que coincide exatamente com a equação diferencial original.

Resposta

A curva implícita x^2y + y^2 = c1 satisfaz
d(x^2y + y^2) = 2x,y,dx + (x^2+2y),dy = 0,
portanto é solução da equação diferencial dada.

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