Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O que o exercício pede e o que é dado.
- Pede-se verificar se a função
é solução da equação diferencial
- Informação dada:
para todo (e mencionados no enunciado não aparecem na função proposta, então não são necessários aqui). - Objetivo concreto: calcular
e comparar com para todos os . Também verificar o ponto crítico (onde há valores absolutos e possíveis problemas de derivabilidade).
Passo 2
Escrever
de forma piecewise (por partes), que facilita computar derivada e valor absoluto.
- Para
: , logo
- Para
: , logo
Portanto
Passo 3
Calcular
e
.
- Se
, então . - Se
, então .
Logo, para todo
,
Assim
Portanto o lado direito da EDO fica
Passo 4
Calcular a derivada
peça por peça (derivada de funções elementares).
- Para
: como , pela regra básica de derivação,
- Para
: como , tem-se
Agora tratar o ponto
separadamente: calcular a derivada por definição (limite do quociente incremental).
Portanto
.
Passo 5
Comparar
com
em cada região.
- Para
: e . Logo . - Para
: . Como , . Logo . - Para
: e . Logo .
Em todas as três situações (
,
,
) vale a igualdade
Passo 6
Observação sobre diferenciabilidade: mostramos explicitamente que a derivada existe para
pelas regras padrão e que a derivada em
existe pelo limite e vale
. Portanto a função é diferenciável em todo
e satisfaz a EDO ponto a ponto.
Resposta
Sim.
é solução da equação diferencial
para todo
.