Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
y^{\prime}=2 \sqrt{|y|} ; y=x|x|

Passo 1

O que o exercício pede e o que é dado.
  • Pede-se verificar se a função y=x|x| é solução da equação diferencial
y' = 2\sqrt{|y|}.
  • Informação dada: y(x)=x|x| para todo x (e c_1,c_2 mencionados no enunciado não aparecem na função proposta, então não são necessários aqui).
  • Objetivo concreto: calcular y'(x) e comparar com 2\sqrt{|y(x)|} para todos os x. Também verificar o ponto crítico x=0 (onde há valores absolutos e possíveis problemas de derivabilidade).

Passo 2

Escrever y(x)=x|x| de forma piecewise (por partes), que facilita computar derivada e valor absoluto.
  • Para x\ge 0: |x|=x, logo
y(x)=x\cdot x = x^{2}.
  • Para x<0: |x|=-x, logo
y(x)=x\cdot(-x) = -x^{2}.
Portanto
y(x)=\begin{cases} x^{2}, & x\ge 0,\\[4pt] - x^{2}, & x<0. \end{cases}]

Passo 3

Calcular |y(x)| e \sqrt{|y(x)|}.
  • Se x\ge 0, y(x)=x^{2}\ge0 então |y(x)|=x^{2}.
  • Se x<0, y(x)=-x^{2}\le0 então |y(x)|=| -x^{2}|=x^{2}.
Logo, para todo x,
|y(x)|=x^{2}.
Assim
\sqrt{|y(x)|}=\sqrt{x^{2}}=|x|.
Portanto o lado direito da EDO fica
2\sqrt{|y(x)|}=2|x|.

Passo 4

Calcular a derivada y'(x) peça por peça (derivada de funções elementares).
  • Para x>0: como y(x)=x^{2}, pela regra básica de derivação,
y'(x)=2x.
  • Para x<0: como y(x)=-x^{2}, tem-se
y'(x)=-2x.
Agora tratar o ponto x=0 separadamente: calcular a derivada por definição (limite do quociente incremental).
y'(0)=\lim_{h\to0}\frac{y(0+h)-y(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h|h|-0}{h}=\lim_{h\to0}|h|=0.
Portanto y'(0)=0.

Passo 5

Comparar y'(x) com 2\sqrt{|y(x)|}=2|x| em cada região.
  • Para x>0: y'(x)=2x e 2|x|=2x. Logo y'(x)=2|x|.
  • Para x<0: y'(x)=-2x. Como x<0, -2x=2(-x)=2|x|. Logo y'(x)=2|x|.
  • Para x=0: y'(0)=0 e 2|0|=0. Logo y'(0)=2|0|.
Em todas as três situações ( x<0, x=0, x>0 ) vale a igualdade
y'(x)=2\sqrt{|y(x)|}.

Passo 6

Observação sobre diferenciabilidade: mostramos explicitamente que a derivada existe para x\neq0 pelas regras padrão e que a derivada em 0 existe pelo limite e vale 0. Portanto a função é diferenciável em todo \mathbb{R} e satisfaz a EDO ponto a ponto.

Resposta

Sim. y(x)=x|x| é solução da equação diferencial y'=2\sqrt{|y|} para todo x\in\mathbb{R}.

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