Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A equação diferencial a ser verificada:
. - A função candidata:
. - Domínio indicado:
. - São mencionadas constantes
e no enunciado, mas a função candidata não depende delas; elas não serão necessárias para a verificação.
O que se pede: verificar se, ao substituir
na equação, a igualdade é satisfeita para
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
de
. Para isso usamos a regra do produto: se
então
Aqui podemos tomar
e
. As derivadas dessas funções são:
Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora formamos o membro da esquerda da equação diferencial
substituindo
e
:
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Passo 4
Obtemos exatamente o lado direito da equação diferencial, que é
. A simplificação usou que
(para que
esteja definido e a divisão por
faça sentido). Assim, a igualdade é verdadeira para todo
.
Resposta
Sim;
satisfaz
para
.