Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
y^{\prime}-\frac{1}{x} y=1 ; y=x \ln x, x>0

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A equação diferencial a ser verificada: y' - \dfrac{1}{x}\,y = 1.
  • A função candidata: y = x \ln x.
  • Domínio indicado: x>0.
  • São mencionadas constantes c_{1} e c_{2} no enunciado, mas a função candidata não depende delas; elas não serão necessárias para a verificação.
O que se pede: verificar se, ao substituir y=x\ln x na equação, a igualdade é satisfeita para x>0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada y' de y=x\ln x. Para isso usamos a regra do produto: se y=u(x)v(x) então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui podemos tomar u(x)=x e v(x)=\ln x. As derivadas dessas funções são:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=\frac{1}{x}\quad(\text{para }x>0).
Aplicando a regra do produto:
y' = u'v + uv' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.

Passo 3

Agora formamos o membro da esquerda da equação diferencial \,y' - \dfrac{1}{x}y\, substituindo y' e y:
y' - \frac{1}{x}y = (\ln x + 1) - \frac{1}{x}\bigl(x\ln x\bigr).
Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{x}\bigl(x\ln x\bigr)=\ln x.
Portanto
y' - \frac{1}{x}y = (\ln x + 1) - \ln x = 1.

Passo 4

Obtemos exatamente o lado direito da equação diferencial, que é 1. A simplificação usou que x>0 (para que \ln x esteja definido e a divisão por x faça sentido). Assim, a igualdade é verdadeira para todo x>0.

Resposta

Sim; y=x\ln x satisfaz \;y'-\dfrac{1}{x}y=1\; para x>0.

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