Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se a função proposta
é uma solução. Ou seja, preciso verificar se, ao calcular
da função dada e substituir na equação, a igualdade fica satisfeita para todo
. As informações relevantes são:
- A equação diferencial:
. - A função candidata:
. - Objetivo: substituir
e na equação e checar se a igualdade vale.
Passo 2
Calcular a derivada
da função
.
Regra usada: a derivada de
em relação a
é
e a derivada de uma constante é
. Assim,
Passo 3
Substituir
na expressão do lado esquerdo da equação diferencial:
Calculemos passo a passo:
e
. Portanto
Passo 4
Comparar o resultado do lado esquerdo com o lado direito da equação. O lado direito é
, e da função dada:
Como obtivemos do lado esquerdo
, temos exatamente
A igualdade vale para todo
, logo
satisfaz a equação diferencial em todos os pontos do domínio considerado.
Passo 5
Comentário didático adicional (útil para a prova): se buscássemos funções lineares
como possíveis soluções, teríamos
e, ao substituir,
Cancelando
dos dois lados sobra
. Assim toda reta da forma
é solução da equação para qualquer constante
. No caso pedido,
dá
, que é exatamente a função proposta. Exemplo: para
a função
também satisfaz a equação.
Resposta
Sim.
é solução da equação diferencial.