Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
\left(y^{\prime}\right)^{3}+x y^{\prime}=y ; y=x+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y'\right)^{3} + x\,y' = y
e pede para verificar se a função proposta
y = x + 1
é uma solução. Ou seja, preciso verificar se, ao calcular y' da função dada e substituir na equação, a igualdade fica satisfeita para todo x. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial: \left(y'\right)^{3} + x\,y' = y.
  • A função candidata: y(x)=x+1.
  • Objetivo: substituir y e y' na equação e checar se a igualdade vale.

Passo 2

Calcular a derivada y' da função y=x+1.
Regra usada: a derivada de x em relação a x é 1 e a derivada de uma constante é 0. Assim,
y'=\frac{d}{dx}(x+1)=\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}1 = 1+0 = 1.

Passo 3

Substituir y'=1 na expressão do lado esquerdo da equação diferencial:
\left(y'\right)^{3} + x\,y' = 1^{3} + x\cdot 1.
Calculemos passo a passo: 1^{3}=1 e x\cdot 1=x. Portanto
\left(y'\right)^{3} + x\,y' = 1 + x.

Passo 4

Comparar o resultado do lado esquerdo com o lado direito da equação. O lado direito é y, e da função dada:
y = x + 1.
Como obtivemos do lado esquerdo 1+x, temos exatamente
\left(y'\right)^{3} + x\,y' = 1 + x = y.
A igualdade vale para todo x, logo y(x)=x+1 satisfaz a equação diferencial em todos os pontos do domínio considerado.

Passo 5

Comentário didático adicional (útil para a prova): se buscássemos funções lineares y=kx+b como possíveis soluções, teríamos y'=k e, ao substituir,
k^{3}+xk = kx+b.
Cancelando kx dos dois lados sobra k^{3}=b. Assim toda reta da forma
y(x)=kx+k^{3}
é solução da equação para qualquer constante k. No caso pedido, k=1 y=x+1, que é exatamente a função proposta. Exemplo: para k=2 a função y=2x+8 também satisfaz a equação.

Resposta

Sim. y=x+1 é solução da equação diferencial.

Exercícios relacionados