Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes.)
y=\left(x+c_{1}\right)^{2}+c_{2} ; \frac{d y}{d x}=\sqrt{y-c_{2}}, x>-c_{1}, c_{1}, c_{2}>0

Passo 1

O enunciado dá a função
y=(x+c_{1})^{2}+c_{2}
e pede para verificar se ela satisfaz a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\sqrt{y-c_{2}},
sabendo que x>-c_{1} e c_{1},c_{2}>0. Vamos usar regra de derivação de funções polinomiais e propriedades da raiz quadrada sob o domínio indicado.

Passo 2

Calculemos \frac{dy}{dx}. Como y=(x+c_{1})^{2}+c_{2}, a derivada de (x+c_{1})^{2} é 2(x+c_{1}) e a de c_{2} é zero. Logo,
\frac{dy}{dx}=2(x+c_{1}).

Passo 3

Agora avaliaremos o lado direito \sqrt{y-c_{2}}. Substituindo y temos
\sqrt{y-c_{2}} =\sqrt{\bigl((x+c_{1})^{2}+c_{2}\bigr)-c_{2}} =\sqrt{(x+c_{1})^{2}} =|x+c_{1}|.
Como o domínio impõe x>-c_{1}, conclui-se x+c_{1}>0 e, portanto,
\sqrt{y-c_{2}}=x+c_{1}.

Passo 4

Comparando as duas expressões encontradas:
\frac{dy}{dx}=2(x+c_{1}) \quad\text{e}\quad \sqrt{y-c_{2}}=x+c_{1},
vemos que, em geral, 2(x+c_{1})\neq x+c_{1}. Portanto a função dada não satisfaz a equação diferencial proposta.

Resposta

A função não é solução da equação \frac{dy}{dx}=\sqrt{y-c_{2}}.

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