Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes.)
y=x^{2}+2 x ; x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=2 x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = x^2 + 2x
(que é um caso particular de y = c_{1}x^2 + c_{2}x com c_{1}=1 e c_{2}=2) satisfaz a equação diferencial
x^2y'' - 2y = 2x^2 + 4x.
Para isso, vamos calcular y' e y'' e depois substituir na equação.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y=x^2+2x:
y' = \frac{d}{dx}(x^2+2x) = 2x + 2,
y'' = \frac{d}{dx}(2x+2) = 2.

Passo 3

Substituindo em x^2y'' - 2y:
x^2y'' - 2y = x^2\cdot 2 \;-\;2\,(x^2+2x) = 2x^2 - 2x^2 - 4x = -4x.

Passo 4

Comparando com o lado direito da equação, que é 2x^2+4x, vemos que
x^2y'' - 2y = -4x \quad\neq\quad 2x^2 + 4x.
Logo, a função y=x^2+2x não satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A função dada não é solução da equação x^2y'' - 2y = 2x^2 + 4x.

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