Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes.)
y=3 e^{2 x}+2 e^{-x} ; y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = 3e^{2x} + 2e^{-x}
satisfaz a equação diferencial
y'' - y' - 2y = 0.
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem, e vamos precisar calcular y', y'' e substituir na equação.

Passo 2

Derivando a função para obter y' e y'':
y' = \frac{d}{dx}\bigl(3e^{2x} + 2e^{-x}\bigr) = 6e^{2x} - 2e^{-x},
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(6e^{2x} - 2e^{-x}\bigr) = 12e^{2x} + 2e^{-x}.

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na equação diferencial:
y'' - y' - 2y = (12e^{2x} + 2e^{-x}) - (6e^{2x} - 2e^{-x}) - 2\bigl(3e^{2x} + 2e^{-x}\bigr).

Passo 4

Agora simplificamos termo a termo:
(12 - 6 - 6)e^{2x} + (2 + 2 - 4)e^{-x} = 0\cdot e^{2x} + 0\cdot e^{-x} = 0.
Portanto o lado esquerdo da EDO é zero.

Resposta

Sim. A função y = 3e^{2x} + 2e^{-x} satisfaz a equação diferencial y'' - y' - 2y = 0.

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