Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e a função candidata
A tarefa é verificar se a função dada satisfaz a equação diferencial (ou seja, se ao substituí‑la na expressão à esquerda obtemos zero). As constantes
e
mencionadas no enunciado não são necessárias para esta verificação direta.
Passo 2
Plano de ataque (curto e prático): calcular
,
e
da função
e substituir essas derivadas em
Se o resultado for identicamente zero, então
é solução. Antes de começar, lembrando duas regras simples que usaremos muito aqui:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Derivada do exponencial:
.
Passo 3
Calcular
. Aplicando a regra do produto a
, com
e
:
Portanto,
Fatorando
,
Passo 4
Calcular
. Diferenciando
(novamente produto
vezes um polinômio):
a derivada do polinômio é
. Assim,
a derivada do polinômio
Somando os termos e fatorando
,
Passo 5
Calcular
. Diferenciando
: a derivada do polinômio
é
. Logo,
Somando e fatorando
,
Passo 6
Substituir
,
,
e
na expressão da equação diferencial. Como todas as derivadas têm fator comum
, é conveniente fatorar
na combinação:
Fatorando
em evidência:
Passo 7
Simplificar o polinômio entre colchetes passo a passo:
Agora somando termo a termo:
- Para
: . - Para
: . - Termos constantes:
.
Portanto o polinômio simplifica para
. Assim
Passo 8
Interpretação curtinha e motivadora: encontramos que a combinação linear pedida é identicamente zero, ou seja, ao substituir
na equação diferencial obtemos
. Logo a função candidata satisfaz a equação.
(O adicional rápido: isso também é consistente com a fatoração do operador diferencial em
e com a regra geral de que, para uma raiz
de multiplicidade
do polinômio característico, funções como
,
e
são soluções; mas a verificação direta acima já prova a afirmação.)
Resposta
Sim,
é solução da equação diferencial.