Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0 ; y=x^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y''' - 3y'' + 3y' - y = 0
e a função candidata
y = x^{2} e^{x}.
A tarefa é verificar se a função dada satisfaz a equação diferencial (ou seja, se ao substituí‑la na expressão à esquerda obtemos zero). As constantes c_{1} e c_{2} mencionadas no enunciado não são necessárias para esta verificação direta.

Passo 2

Plano de ataque (curto e prático): calcular y', y'' e y''' da função y e substituir essas derivadas em
y''' - 3y'' + 3y' - y.
Se o resultado for identicamente zero, então y é solução. Antes de começar, lembrando duas regras simples que usaremos muito aqui:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (uv)' = u'v + uv'.
  • Derivada do exponencial: (e^{x})' = e^{x}.

Passo 3

Calcular y'. Aplicando a regra do produto a y = x^{2} e^{x}, com u(x)=x^{2} e v(x)=e^{x}:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=e^{x}.
Portanto,
y' = (x^{2} e^{x})' = (2x)e^{x} + x^{2}e^{x}.
Fatorando e^{x},
y' = e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr).

Passo 4

Calcular y''. Diferenciando y' = e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr) (novamente produto e^{x} vezes um polinômio):
a derivada do polinômio x^{2}+2x é 2x+2. Assim,
y'' = \bigl(e^{x}(x^{2}+2x)\bigr)' = e^{x}(x^{2}+2x) + e^{x}(2x+2).
Somando os termos e fatorando e^{x},
y'' = e^{x}\bigl(x^{2}+4x+2\bigr).

Passo 5

Calcular y'''. Diferenciando y'' = e^{x}\bigl(x^{2}+4x+2\bigr): a derivada do polinômio x^{2}+4x+2 é 2x+4. Logo,
y''' = \bigl(e^{x}(x^{2}+4x+2)\bigr)' = e^{x}(x^{2}+4x+2) + e^{x}(2x+4).
Somando e fatorando e^{x},
y''' = e^{x}\bigl(x^{2}+6x+6\bigr).

Passo 6

Substituir y, y', y'' e y''' na expressão da equação diferencial. Como todas as derivadas têm fator comum e^{x}, é conveniente fatorar e^{x} na combinação:
\begin{aligned} y''' - 3y'' + 3y' - y &= e^{x}\bigl(x^{2}+6x+6\bigr) -3e^{x}\bigl(x^{2}+4x+2\bigr)\\\ &\quad +3e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr) - e^{x}\bigl(x^{2}\bigr). \end{aligned}
Fatorando e^{x} em evidência:
y''' - 3y'' + 3y' - y = e^{x}\Bigl[\bigl(x^{2}+6x+6\bigr) -3\bigl(x^{2}+4x+2\bigr) +3\bigl(x^{2}+2x\bigr) - x^{2}\Bigr].

Passo 7

Simplificar o polinômio entre colchetes passo a passo:
\begin{aligned} &\bigl(x^{2}+6x+6\bigr) -3\bigl(x^{2}+4x+2\bigr) +3\bigl(x^{2}+2x\bigr) - x^{2} \\\ &= x^{2}+6x+6 -3x^{2}-12x-6 +3x^{2}+6x - x^{2}. \end{aligned}
Agora somando termo a termo:
  • Para x^{2}: 1 -3 +3 -1 = 0.
  • Para x: 6 -12 +6 = 0.
  • Termos constantes: 6 -6 = 0.
Portanto o polinômio simplifica para 0. Assim
y''' - 3y'' + 3y' - y = e^{x}\cdot 0 = 0.

Passo 8

Interpretação curtinha e motivadora: encontramos que a combinação linear pedida é identicamente zero, ou seja, ao substituir y=x^{2}e^{x} na equação diferencial obtemos 0. Logo a função candidata satisfaz a equação.
(O adicional rápido: isso também é consistente com a fatoração do operador diferencial em (D-1)^{3} e com a regra geral de que, para uma raiz r=1 de multiplicidade 3 do polinômio característico, funções como e^{x}, x e^{x} e x^{2} e^{x} são soluções; mas a verificação direta acima já prova a afirmação.)

Resposta

Sim, y=x^{2}e^{x} é solução da equação diferencial.

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