Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial que está ao seu lado; aqui c denota uma constante real.
d) y(x)=ln (x+c)+2, y^prime e^(y-2)=1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função y(x) = ln(x + c) + 2 e uma equação diferencial y' cdot e^(y - 2) = 1 . Nosso objetivo é verificar se essa função y(x) realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de y em relação a x (isto é, y' ) e depois substituir tanto y quanto y' na equação para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y(x) em relação a x . A função dada é y(x) = ln(x + c) + 2 . A derivada de ln(u) em relação a u é 1u , e pelo regra da cadeia, a derivada de ln(x + c) em relação a x é 1x + c .
Então:
y'(x) = ddx ( ln(x + c) + 2 ) = 1x + c

Passo 3

Agora, vamos calcular y - 2 . Sabemos que:
y = ln(x + c) + 2 implies y - 2 = ln(x + c)
Em seguida, calculamos e^(y - 2) :
e^(y - 2) = e^ln(x + c) = x + c
Isso porque a exponencial e o logaritmo natural são funções inversas, então e^ln(a) = a .

Passo 4

Agora, substituímos y' e e^(y - 2) na equação diferencial dada:
y' cdot e^(y - 2) = 1x + c cdot (x + c) = 1

Resposta

A função y(x) = ln(x + c) + 2 satisfaz a equação diferencial y' cdot e^(y - 2) = 1 , pois ao substituir encontramos que y' cdot e^(y - 2) = 1 .

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