Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial que está ao seu lado; aqui c denota uma constante real.
d)
.
d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e uma equação diferencial
. Nosso objetivo é verificar se essa função
realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
(isto é,
) e depois substituir tanto
quanto
na equação para ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função dada é
. A derivada de
em relação a
é
, e pelo regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Em seguida, calculamos
:
Isso porque a exponencial e o logaritmo natural são funções inversas, então
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação diferencial dada:
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
, pois ao substituir encontramos que
.