Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes.)
y=e^{3 x}+x^{2} ; y^{\prime}-3 y=x^{2}+2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' - 3y = x^{2} + 2x
e a função candidata
y = e^{3x} + x^{2}.
Para verificar se é solução, vamos calcular y', montar y' - 3y e comparar o resultado com o lado direito x^{2}+2x.

Passo 2

Calcular a derivada de y. Como
y = e^{3x} + x^{2},
temos
y' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = 3e^{3x} + 2x.

Passo 3

Substituir y e y' em y' - 3y e simplificar:
y' - 3y = \bigl(3e^{3x} + 2x\bigr) - 3\bigl(e^{3x} + x^{2}\bigr) = 3e^{3x} + 2x - 3e^{3x} - 3x^{2} = -3x^{2} + 2x.

Passo 4

Comparar o resultado obtido com o termo independente da equação, que é x^{2}+2x. Vemos que
y' - 3y = -3x^{2} + 2x \neq x^{2} + 2x.
Portanto, a igualdade exigida pela equação diferencial não se mantém para todo x.

Resposta

A função y = e^{3x} + x^{2} não é solução da equação y' - 3y = x^{2} + 2x, pois ao substituir obtemos -3x^{2} + 2x em vez de x^{2} + 2x.

Exercícios relacionados