Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata. Se não for, devemos encontrar um fator integrante e, então, obter a família geral de soluções. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
onde
Verificamos exatidão calculando
Como
, a equação não é exata. Para achar um fator integrante
que dependa só de
, usamos a condição
que é função apenas de
. Logo,
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
:
Agora
e de fato
ou seja, a equação é exata. Buscamos então uma função potencial
tal que
Diferenciando em relação a
,
deve ser igual a
. Assim
e
Então
A solução geral implícita é
Resposta
A equação não é exata, o fator integrante é
e a família geral de soluções é