Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções de cada equação diferencial.
y d x-(2 x+y) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
y\,dx - (2x + y)\,dy = 0
é exata. Se não for, devemos encontrar um fator integrante e, então, obter a família geral de soluções. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde
M(x,y) = y, \quad N(x,y) = -\bigl(2x + y\bigr).
Verificamos exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -2.
Como 1 \neq -2, a equação não é exata. Para achar um fator integrante \mu que dependa só de y, usamos a condição
\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{-2 - 1}{y} = -\frac{3}{y},
que é função apenas de y. Logo,
\frac{d\mu}{dy}\bigg/\mu = -\frac{3}{y} \quad\Longrightarrow\quad \ln\mu = -3\ln y + \text{const} \quad\Longrightarrow\quad \mu(y) = y^{-3}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^{-3}:
y^{-3}\,y\,dx \;-\; y^{-3}(2x+y)\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{-2}\,dx - \bigl(2x\,y^{-3} + y^{-2}\bigr)\,dy = 0.
Agora
\widetilde M(x,y) = y^{-2}, \quad \widetilde N(x,y) = -\bigl(2x\,y^{-3} + y^{-2}\bigr),
e de fato
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = -2\,y^{-3}, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = -2\,y^{-3},
ou seja, a equação é exata. Buscamos então uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x} = y^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \Phi(x,y) = x\,y^{-2} + h(y).
Diferenciando em relação a y,
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -2x\,y^{-3} + h'(y)
deve ser igual a \widetilde N = -2x\,y^{-3} - y^{-2}. Assim
-2x\,y^{-3} + h'(y) = -2x\,y^{-3} - y^{-2} \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -y^{-2}
e
h(y) = \int -y^{-2}\,dy = y^{-1}.
Então
\Phi(x,y) = x\,y^{-2} + y^{-1}.
A solução geral implícita é
\Phi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad x\,y^{-2} + y^{-1} = C.

Resposta

A equação não é exata, o fator integrante é \displaystyle \mu(y)=y^{-3} e a família geral de soluções é
x\,y^{-2} + y^{-1} = C.

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